【数学IA】二次方程式を理解しましょう!

数学IA

みなさん、こんにちは。「数学IA」の今回のテーマは、二次方程式です。おそらくみなさん、こう思っていませんか?

 

たかしくん
たかしくん

方程式は習ったけど、「二次」って何?むずそう。

二次とは次数が2を表すことで2次方程式とは最大次数が2が出てくる方程式のことを指します。この2次方程式を解くには①平方根を利用する解き方、② 因数分解を利用する解き方、③ 解の公式を利用する解き方、があります。

 

2次方程式を解くのに、因数分解を使えばいいのか、解の公式を使えばいいのか色々とパターンがあるので、なれていきましょう。

 

センター試験、二次試験のどちらにおいても、2次方程式の分野を踏まえての応用問題がよく出されています。例題を繰り返し練習して、自分の中に定着させてしまいましょう。

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そもそも二次方程式とは?

先ほどC君が疑問視していましたね。2次方程式とはそもそも何か?と。

 

先ほどのC君の疑問に答えましょう。一次方程式の「一次」や、二次方程式の「二次」です、これは、式中の値がわからない文字(\(x\)や\(t\)など)の最大の次数を表しています。

 

「一次」なら、最大次数は\(1\)、つまり、\(x\)の項はありますが、\(x^2\)や\(t^3\)など、累乗されている文字は含まれません。

 

avatar

先生

そう、つまり、今回習う「二次」方程式とは、最大次数は\(2\)を有するもので、\(x^2\)など二乗までの項が含まれる式のことさね。

 

また、方程式においては、最大次数は解の数も示します。つまり、一次方程式の解の数は\(1\)個、二次方程式の場合は\(2\)個です

 

まとめると、

  • \(n\) 次方程式なら最大次数は\(n\)
  • 解の数は(実数、虚数含めて)\(n\)個

となります。

二次方程式の解き方は?

 

まずは、二次方程式の解き方から説明します。一般的には、下の3種類の解法があります。

① 平方根を利用する解き方

② 因数分解を利用する解き方

③ 解の公式を利用する解き方

それぞれ見てみましょう。

解法① 平方根を利用する解き方

平方根について、簡単に復習します。

 

平方根の定義は、「二乗すると\(a\)になる数」でした。正のものと負のものの\(2\)個があり、それぞれ\(\sqrt{a}, -\sqrt{a}\)と表します。

 

\(\sqrt{a^2}=|a|=\pm a\)

 

思い出しましたか?思い出せない…という人は、こちらを読みましょう。「【数学IA】絶対値と平方根を理解しよう!

 

復習した内容を解法に利用するには、下のように書き直すとわかりやすくなります。

\(x^2=a\)(\(a>0\)) ならば \(x=\pm \sqrt{a}\)

 

それでは、実際に例題を解いてみましょう。

例題\(x\)を求めよ。
(1) \(3x^2-27=0\)    (2) \(7x^2-10=8\)   (3) \((x-3)^2=6\)

$
\begin{array}
33x^2-27&=&0\\
3x^2&=&27\\
x^2&=&9\\
x&=&\pm \sqrt{9}\\
x&=&\pm 3
\end{array}
$

(2) 途中までは(1)と同じです。最後に、忘れてはいけないポイントがあります。


$\begin{array}
77x^2-10&=&8\\
7x^2&=&18\\
x^2&=&\frac{18}{7}\\
x&=&\pm \sqrt{\frac{18}{7}}\hspace{5mm}&\cdots(ア)\\
&=&\pm \frac{\sqrt{18} \sqrt{7}}{7}\\
&=&\pm \frac{3\sqrt{2} \sqrt{7}}{7}\\
&=&\pm \frac{3\sqrt{14}}{7}
\end{array}
$

 式(ア)以降、分母にルートが含まれているので、分母・分子の両方に\(\sqrt{7}\)をかけて有理化するのを忘れては、いけません。

(3) この場合は、展開するよりも、そのまま計算するのが早いです。


$
\begin{array}
xx-3&=&\pm \sqrt{6}\\
x&=&3\pm \sqrt{6}
\end{array}
$

解法② 因数分解を利用する解き方

因数分解も、前に説明しました。覚えてない人は、振り返りましょう。
【数学IA】因数分解の計算の簡単な解き方(たすき掛けの方法も解説)

 

因数分解することで、二次方程式が解けるというのは、次のような考え方に基づきます。

$$(x-a)(x-b)=0$$

 

上の式は、\((x-a)\) と\((x-b)\) を掛け合わせると\(0\) になるという意味です。二つの数を掛け合わせた答えが\(0\)になるということは、掛け合わせるどちらかの数は\(0\) であるということです。つまり、\(x-a=0\) あるいは\(x-b=0\) となるので、

 

$$x-a=0 より、x=a$$
$$x-b=0 より、x=b$$

よって、答えは、\(x=a, b\)

解法③ 解の公式を利用する解き方

二次方程式に必要な新しい公式を教えます。「解の公式」と言います。二次方程式を解けるめちゃくちゃ便利な武器なので必ず習得してください。

 

《 二次方程式の解の公式 》

二次方程式\(ax^2+bx+c=0\)(\(a\neq0\))の解は、

$$x=\normalsize \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

 

何度も書いたり読んだりするのもいいですが、一度自分で公式を導いてみるというのも、公式を覚える一つのコツです。

 

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Bくん

でも、覚えるの苦手だしな・・・・

 

そういう人は一度、公式を導いておけば、理屈を暗記でき、万が一、テスト中に忘れても導き出せます。解の公式自体の理屈自体を押さえていきましょう。

\begin{eqnarray}
ax^2+bx+c&=&0   (a\neq0)\\
a(x^2+\frac{b}{a}x)+c&=&0\hspace{5mm}&\cdots(1)\\
a(x^2+\frac{b}{a}x)+(\frac{b}{2a})^2-(\frac{b}{2a})^2+c&=&0\hspace{5mm}&\cdots(2)\\
a(x+\frac{b}{2a})^2&=&\frac{b^2}{4a}-c\hspace{5mm}&\cdots(3)\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=&\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\hspace{5mm}&\cdots(4)\\
(x+\frac{b}{2a})^2&=&\frac{b^2-4ac}{4a^2}\hspace{5mm}&\cdots(5)\\
x+\frac{b}{2a}&=&\pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\hspace{5mm}&\cdots(6)\\
x&=&\normalsize \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{eqnarray}

 

ただ数式をたどるだけでは、意味がありません。それぞれの箇所で何をしているのか、よく見てみます。

 

まず、これは『解法① 平方根を利用する解き方』を使って、\(x\) の値を求めています。そのために、必要な形になるように、それぞれの項を与えられた文字で割ったり、必要な値を足したり引いたりしています。

 

(1)では、\(x^2\) の係数を\(1\) にするために、\(x^2\) と\(x\)の項を\(a\)でまとめています。

 

(2)で、\((x+A)^2\) とするために必要な定数項を足し、足すだけでは等式が成り立たなくなるので、同時に引いています。

 

(3)のステップで、解法①を使うために、左辺を\((x+A)^2\)の形に、残りの定数項を右辺へ移項します。因数分解の2乗の公式を利用するための作業です。詳しくは、因数分解「【数学IA】因数分解の計算の簡単な解き方(たすき掛けの方法も解説)」をみてください。

 

(4)で\(x^2\) についていた係数\(a\) で両辺を割っています。

 

(6)ではついにルートをはずし、最後に\(x=B\) の形になるように両辺を整理しました。

 

もう一度言います。ここでも解法①平方根を使って、\(ax^2+bx+c=0\) を解いているのです。

 

つまり、もうどうしても公式なんて覚えられない!という人、解法①と②だけで突き進むこともできます。でも解法③を覚えられれば、ただ係数を公式に順にあてはめればいいだけなので、テストの時間が節約できます。

 

ちなみに、生徒の中には、この公式を暗記することができず、テストが始まる直前に教科書でこの公式を目に焼き付け、テスト開始と同時にまず余白に公式を書き留めてから、問題を解く者もいました。スマートではありませんが、定期試験対策にはそういうやり方もあります。

 

avatar

先生

ただし、実際の入試では使えないし、書いている暇もないので早めに覚えておくんだな。慣れが必要だ。

今回のまとめ問題

最後に問題を解いていきましょう。

例題次の二次方程式を解け。
(1) \(2x^2+11x+12=0\)    (2) \((a^2-4)x^2-(a^2+2a)x+(a+2)=0\)
(1)たすきがけを使って、因数分解できます。

$
\begin{array}
((2x+3)(x+4)&=&0\\
x&=&-\frac{3}{2}, -4
\end{array}
$

(2) 二次方程式は、\(ax^2+bx+c=0\) において、\(a\neq0\) という条件があります。理由は\(a=0\) のときは二次方程式にならないので、解の方程式が成り立たないからです。よって、場合分けが必要です。

問題の式を見ると、共通の係数がありそうなので、まずは因数分解してみましょう。


\begin{array}{rcll}
(a+2)(a-2)x^2-a(a+2)x+(a+2)&=&0\\
(a+2)\left\{(a-2)x^2-ax+1\right\}&=&0\end{array}
(a) \(a+2=0\)のときつまり\(a=-2\) のとき
\begin{array}{rcll}
-4x^2+2x+1&=&0\\
x&=&\frac{-2\pm\sqrt{4^2-4\times(-4)}}{2\times(-4)}\\
&=&\frac{-2\pm\sqrt{20}}{-8}\\
&=&\frac{-2\pm 2\sqrt{5}}{-8}\\
&=&\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}
\end{array}(b) \(a-2=\) のとき、つまり\(a=2\) のとき
\begin{array}{rcll}
4(-2x+1)&=&0\\
x&=&\frac{1}{2}
\end{array}(c) \(a\neq \pm2\) のとき
\begin{array}{rcll}
(a-2)x^2-ax+1&=&0\\
x&=&\frac{a\pm\sqrt{a^2-4(a-2)}}{2(a-2)}\\
&=&\frac{a\pm\sqrt{a^2-4a+8}}{2(a-2)}
\end{array}

例題は以上です。

二次方程式、きちんと自分の中に定着したでしょうか?次の記事で説明する二次曲線は、二次方程式を理解していないと難しいです。二次方程式は、入試頻出問題の基礎です。しっかり理解しておきましょう。
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