分数式の乗法・除法をわかりやすく解説(問題演習も!)【数学IA】

数と式

みなさん、こんにちは。数学のコーナーです。今回のテーマは【分数式の乗法・除法】です。

 

たなかくん
たなかくん
分数式ってそもそもどんな式?ふつうの式とどう違うの?

 

分数式の乗法・除法と聞いても、そもそも分数式がどんな式なのか、あまりぴんとこない人もいるでしょう。

 

今回は、まずこんな疑問にお答えして、分数式とは何かを解説したあと、分数式の乗法・除法のやり方についてわかりやすく説明していきます。

 

分数式が苦手だった人も、この記事を読み終わったときには、分数式の乗法・除法が完ぺきにできるようになっているでしょう。

 

それでは、さっそく始めていきます。

 

この記事を15分で読んでできること・分数式とは何かがわかる

・分数式の乗法・除法の解き方がわかる

・自分で実際に分数式の乗法・除法を解ける

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そもそも分数式とは?

そもそも分数式とは整式Aと定数でない整式Bについて、$\frac{A}{B}$の形で表される式のことを指します。

 

※整式とは、単項式と多項式の総称だと考えれば問題ありません。

 

例えば、$\frac{x+1}{2x+3}$は、整式$x+1$と定数でない(変数$x$を含む)整式$2x+3$からなるので、分数式といえます。

 

一方、$\frac{x^{2}+5x+6}{2x+6}$は$\frac{\left(x+3\right)\left(x+2\right)}{2\left(x+3\right)}$、すなわち$\frac{x+2}{2}$であり、分母が定数なので分数式ではありません。

分数式の乗法・除法のやり方

分数式の乗法・除法といっても、ふつうの分数と同じように計算できます。

 

$\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}$
$\frac{A}{B}\div \frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times \frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}$

 

例題で確認してみましょう。

例題

①$\frac{x^{2}-x-2}{x-2}\times \frac{x-4}{x^{2}-1}$

②$\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}+4x}\div \frac{x^{2}-4x}{x^{2}+6x+8}$

①$\frac{x^{2}-x-2}{x-2}\times \frac{x-4}{x^{2}-1}$

まず、因数分解できるところは因数分解するのがポイントです。

 

$=\frac{x^{2}-x-2}{x-2}\times \frac{x-4}{x^{2}-1}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}{x-2}\times \frac{x-4}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

 

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}$

 

約分すると、

$=\frac{x-4}{x-1}$

 

②$\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}+4x}\div \frac{x^{2}-4x}{x^{2}+6x+8}$

 

わり算は、まずかけ算に直しましょう。
$=\frac{x^{2}+x-6}{x^{2}+4x}\times \frac{x^{2}+6x+8}{x^{2}-4x}$

 

かけ算に直したら①と同様、因数分解から始めましょう。
$=\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)}{x\left(x+4\right)}\times \frac{\left(x+4\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

 

$=\frac{\left(x+3\right)\left(x-2\right)\left(x+4\right)}{x\left(x+4\right)\left(x-2\right)}$

 

約分すると、

$=\frac{x+3}{x}$

 

練習問題

問題

①$\frac{x^{2}+5x+6}{2x^{2}-2}\times \frac{x^{2}-4x+3}{x+2}$

$\frac{x^{2}+5x+6}{2x^{2}-2}\times \frac{x^{2}-4x+3}{x+2}$
$=\frac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(x-3\right)}{2\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)}$
$=\frac{x^{2}-9}{2x+2}$

 

②$\frac{6a^{2}b^{2}}{2x^{2}y}\div \frac{3ab^{3}}{4xy}$

$\frac{6a^{2}b^{2}}{2x^{2}y}\div \frac{3ab^{3}}{4xy}$
$=\frac{6a^{2}b^{2}\times 4xy}{2x^{2}y\times 3ab^{3}}$
$=\frac{4a}{bx}$

 

今回のまとめ

今回は、分数式の乗法・除法について解説しました。

 

「分数式」と聞いて、むずかしそうと思った人も、やってみると意外とかんたんに解けると思ったのではないでしょうか。

 

計算問題を解けるようになるには、繰り返しの練習が一番効果的です。

 

今後もいろいろな問題に挑戦していきましょう。よければ「チャート式基礎からの数学I+A 」を見てみましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

 

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