みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【対称式と交代式】です。
対称式と交代式を習ったけどそれをどう使えばいいのか分からないという人もいるでしょう。対称式と交代式を使いこなすには、対称式・交代式の特徴を知っておくことが大切です。
この記事では、まず対称式・交代式とは何か、そしてその特徴を説明し、それらの使い方について分かりやすく解説していきます。問題演習もできるので最後までしっかりと読んで知識のアウトプットにも努めましょう。
それでは、さっそく始めていきましょう。
・対称式・交代式の使い方がわかる
・自分で実際に対称式・交代式を使える
対称式と交代式とは
交代式とは
交代式とは、「変数を入れ替えると、-1をかけた式になる式」のことです。
この説明ではよく分かりませんね…。具体的な式で理解しましょう。
例えば、$x-y$には、$x$と$y$という2つの変数がありますね。これらを入れ替えると、$y-x$となります。
$y-x=\left(x-y\right)\times -1$が成り立つので、$x-y$は交代式です。
対称式の性質
次に、対称式についてです。
対称式とは、「変数を入れ替えても同じ式になる式」のことです。
交代式と同様に具体的な例を見てみましょう。
$x+y$の変数$x$と$y$を入れ替えると、$y+x$となります。見た目は変わっていますが、$x+y=y+x$であるため、$x+y$は対称式です。
対称式には、どんな対称式も$x+y$と$xy$の和・差・積の組み合わせで表すことができるという性質があります。また、$x+y$と$xy$のことを「基本対称式」といいます。
ここでは、対称式$x^{2}+y^{2}$、$x^{3}+y^{3}$を基本対称式の組み合わせで表してみましょう。
$x^{2}+y^{2}=\left(x+y\right)^{2}-2xy$
$x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}-3x^{2}y-3xy^{2}$
$x^{3}+y^{3}=\left(x+y\right)^{3}-3xy\left(x+y\right)$
このように、対称式は基本対称式の組み合わせで表せることを覚えておきましょう。
2変数の場合の交代式
2変数の交代式は、「$x-y$を因数にもち、残りの因数は対称式になる」という性質があります。
2変数の交代式の因数分解
2変数の交代式の$x-y$を因数にもつという性質をつかって、因数分解をしてみましょう。
例えば、2変数の交代式には$x^{3}-y^{3}$があります。
交代式は$x-y$を因数にもつので、
$x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$
残りの因数は対称式になる、すなわち基本対称式の組み合わせで表せるという特徴から、さらに式を変形すると、
$x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)$
$=\left(x-y\right)\left\{\left(x+y\right)^{2}-xy\right\}$
となります。
対称式・交代式を使うと、どんな問題が解けるようになるのでしょうか？
さっそく練習問題を解いてみましょう。
対称式と交代式の難問を解いてみよう
問題
$x=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}$、$y=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$とする。このとき、次の値を求めなさい。
(1)$x^{2}+y^{2}$
(2)$x^{3}-y^{3}$
解答
まずは、基本対称式の値を求めましょう。
$x+y=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}+\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}-2}$
$=\frac{\left(\sqrt{5}-2\right)^{2}+\left(\sqrt{5}+2\right)^{2}}{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}$
$=\frac{\left(5-4\sqrt{5}+4\right)\left(5+4\sqrt{5}+4\right)}{5-4}=18$
$xy=\frac{\left(\sqrt{5}+2\right)\left(\sqrt{5}-2\right)}{\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)}=1$
$x+y=18$、$xy=1$であることを使って、問題を解いていきましょう。
$x^{3}-y^{3}=\left(x-y\right)\left\{\left(x+y\right)^{2}-xy\right\}$
$=-8\sqrt{5}\left(324-1\right)=-2584\sqrt{5}$
今回のまとめ
今回は、対称式と交代式について解説しました。
対称式・交代式を使うと、一見むずかしそうな計算をかんたんに解くことができます。入試の小問を素早く解き終えるために、対称式・交代式を使いこなせるようにしましょう。
今回もおつかれさまでした。
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