多項式の除法とは?計算方法をわかりやすく解説して演習問題を解く【数学IA】

数と式

みなさん、こんにちは。数学のコーナーです。今回のテーマは【多項式の除法】です。

 

多項式の除法ってどんな方法があるんだろう?
たなかくん
たなかくん

 

これまで除法のやり方について、いろいろ勉強してきた人も多いでしょう。

 

ただ、多項式の除法にはどんな方法があるのか?と聞かれると、ぱっと出てこないかもしれません。

 

今回は、そんな人のために、多項式の除法のやり方3つをわかりやすくまとめていきます。自分がやりやすい方法を見つけて、多項式の除法をスムーズにできるようになりましょう。

 

この記事を15分で読んでできること

・多項式の除法のやり方がわかる

・自分で実際に多項式の除法ができる

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そもそも多項式とは?

多項式とは、「かけ算とたし算で成立している文字式」のことです。

例えば、$2x+3$、$5x^{2}+3x-6$が多項式にあたります。

 

また、「多項式の次数」とは、一番次数の高い項の次数を意味します。

 

すなわち、$5x^{2}+3x-6$であれば$5x^{2}$の次数2であり、この式は2次式といいます。

多項式の除法のやり方

多項式の除法には、3つのやり方があります。

 

まず、①一般的な除法と同じように筆算する方法、そして、②恒等式を用いて解く方法、最後に、少しむずかしいですが③組立除法の3つです。

 

①と②のやり方は、どんな問題であっても使うことができるので、しっかりと覚えておきましょう。

多項式の除法のやり方①筆算

まずは、①一般的な除法と同じように筆算する方法です。

 

例題で解き方を確認しましょう。

 

例題

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7$を$x^{2}-2x+3$で割った商と余りを求めなさい。

 

筆算は、整数の筆算と同じように行います。

 

商は$3x+11$、余りは$7x-26$です。

 

このときに、もっとも次数の高い項だけでなく、割る式(今回は$x^{2}-2x+3$)全体を計算することを忘れないようにしましょう。

 

多項式の除法のやり方②恒等式

次に、②恒等式を用いて解く方法です。

 

恒等式については、「恒等式とは?計算の仕方をわかりやすく解説して問題演習をする【数学IA】」の記事が参考になります。

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先ほどと同じ例題で、解説していきます。

例題

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7$を$x^{2}-2x+3$で割った商と余りを求めなさい。

 

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7$を$x^{2}-2x+3$で割った商は、1次式になるので$Q\left(x\right)=ax+b$と表せます。

 

また、余りは1次以下の式となるため、$R\left(x\right)=cx+d$とおけます。
※商を$Q\left(x\right)$、余りを$R\left(x\right)$とすることが多いです。

 

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7$を$x^{2}-2x+3$で割った商が$ax+b$、余りが$cx+d$なので、

 

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7=\left(x^{2}-2x+3\right)\left(ax+b\right)+cx+d$となります。

 

展開すると、

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7=ax^{3}+\left(-2a+b\right)x^{2}+\left(3a-2b+c\right)x+3b+d$

です。

 

これは恒等式であるため、

$a=3$、$-2a+b=5$、$3a-2b+c=-6$、$3b+d=7$となります。

 

この連立方程式を解くと、

$a=3$、$b=11$、$c=7$、$d=-26$となります。

 

よって、

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7=\left(x^{2}-2x+3\right)\left(3x+11\right)+7x-26$

 

なので、

商は$3x+11$、余りは$7x-26$です。

多項式の除法のやり方③組立除法

最後に、組立除法で解く方法です。

 

組立除法は、割る式が一次式のときにしか使えないので注意しましょう。

 

組立除法のくわしいやり方については、こちらの記事が参考になります。

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練習問題

ここにタイトル

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7$を$x+3$で割った商と余りを求めなさい。

【解答解説】

この問題は、割る式が1次式なので、上の3つすべての方法で解くことができます。ここでは、②の恒等式を使った解き方で解説します。

 

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7$を$x+3$で割った商は2次式、余りは定数なので、
$Q\left(x\right)=ax^{2}+bx+c$、$R\left(x\right)=d$とおけます。

 

よって、

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7=\left(x+3\right)\left(ax^{2}+bx+c\right)+d$

 

展開すると、

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7=ax^{3}+\left(3a+b\right)x^{2}+\left(3b+c\right)x+3c+d$

 

これは恒等式なので、

$a=3$、$3a+b=5$、$3b+c=-6$、$3c+d=7$

 

これを解いて、

$a=3$、$b=-4$、$c=6$、$d=-11$

 

よって、

$3x^{3}+5x^{2}-6x+7=\left(x+3\right)\left(3x^{2}-4x+6\right)-11$

したがって、

商は$3x^{2}-4x+6$、余りは$-11$

 

 

今回のまとめ

今回は、多項式の除法について解説しました。

 

自分のやりやすい方法を見つけることができたでしょうか。

 

多項式の除法に限れば、筆算ができれば十分です。ただ、恒等式を使った解き方は他の問題にも応用がきくので、ぜひ覚えておきたい方法です。

 

さらに練習問題を解いて、多項式の除法をスムーズに解けるようになりましょう。オススメの多項式の本ですが「多項式のラプソディー (はじめよう数学)」が面白いです。

 

今回もおつかれさまでした。

 

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