【数学IA】絶対値と平方根の計算を解こう！

ちなみに、場合分けのときの\(=\)ですが、どちらか片方につけて\(x<a\)と\(x\geq a\)としても、両方につけて\(x\leq a\)と\(x\geq a\)としても構いません。ただ、どちらにも\(=\)がないと、\(x=a\)のときの場合分けがないことになりますから、注意が必要です。

絶対値が理解できたら、平方根にとりかかりましょう。

平方根って何？

平方根という言葉は、主に「\(a\)（正の数）の平方根」というように使います。定義は、「二乗すると\(a\)になる数」です。正のものと負のものの\(2\)個があり、それぞれ\(\sqrt{a}, -\sqrt{a}\)と表します。

少し理解を深く掘り下げていきましょう。

二乗すると負の数になる数は、実数範囲では存在しません。つまり、負の数の平方根は存在せず、\(a\)は常に正の数でなければなりません。（さらに高等な数学に発展すると、二乗すると負の数になる「虚数」という数もあります。ただ、概念的な数で、現実には存在しません。）

さらに、二乗の平方根\(\sqrt{a^2}\)について考えます。

\(\sqrt{a^2}\) は、マイナスの符号がついていないので、二乗して\(a^2\)になる数のうち、正の方のみを表します。二乗して\(a^2\)になる数は、\(a\) と\(-a\) があります。\(\sqrt{a^2}\) は、その二つのうち、正の方のことです。

場合分けしてみましょう。

\(a>0\) であれば、正の方は\(a\) になりますが、\(a<0\) の場合、正の方は\(-a\) です。よって、

\[
\sqrt{a^2} = \begin{cases}
\text{\(a\geq0\) のとき} & \sqrt{a^2}=a \\
\text{\(a<0\) のとき} & \sqrt{a^2}=-a
\end{cases}
\]

簡単な例題で理解しましょう。

上の場合分けを適用してみます。
ルートの中身が負の数なので、\(\sqrt{a^2}=-a\)を使います。
\(\sqrt{(-3)^2}=-(-3)=3\)

順を追って計算してみます。
\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=\sqrt{3^2}=|3|=3\)

上の場合分けは、絶対値を使って、以下のようにもまとめられます。

\(\sqrt{a^2}=|a|\)

最後に、理解を深める例題です。

\begin{eqnarray}
\sqrt{x^2+4x+4}+\sqrt{4x^2-12x+9}&=&\sqrt{(x+2)^2}+\sqrt{(2x-3)^2}\\
&=&|x+2|+|2x-3|
\end{eqnarray}

この絶対値の計算には場合分けが必要でしたね。絶対値の計算は上の絶対値の例題（５）で３つの場合に場合分けしましたよね。理解できない人はもう一度上の絶対値の計算を解き直してみましょう。