【数学IA】図形と計量を理解しましょう!

数学IA

みなさん、こんにちは。数学IAのコーナーです。今回の数学IAのテーマは【図形と計量】です。あと少しだけ、三角比と関連したさまざまな図形の性質を取り扱います。図形と軽量では三角比を利用して色々と問題を解いていきます。

 

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たかし君

図形って、また三角比か~。。。

 

そうです。でもこの図形の分野は、どんな入試においても少なくとも一問は出題されています。三角比については「数学IA】三角比をマスターしましょう!」が詳しいので忘れた人は復習をしましょう。

 

なお苦手な人は、逆に言えば、難しい図形問題でも確実に解く力をつけておけば、周りの受験生よりも一歩有利な立場になれるということです。

 

ここでは、数学のテストで安定して得点できるようになるために、基礎から応用へとステップを踏んで説明します。数学が苦手な人は、始めは基礎の部分だけを克服して、苦手意識が払拭できてきたら徐々に応用に進んでもいいでしょう。

 

まずは、各カテゴリーで少しずつでも得点し、試験でどんな範囲が出ても安定的に得点できるようにすることが目標です。次のステップでは、入試対策として苦手な科目やカテゴリーを戦略的に克服して、できるだけ満点に近づけるように持っていきましょう。

 

この分野は、三角比を基礎として、以前勉強した正弦定理・余弦定理などと一緒に出されることが多いです。正弦定理、余弦定理については「【数学IA】正弦定理・余弦定理を強みにしましょう!」を読んでみてください。

 

センター試験だけでなく、二次試験でもよく見かけます。でも、理屈をきちんと理解すれば、図形問題はパズルのような感覚で解けるようになります。マスターするには練習あるのみ!です。それでは、早速始めていきましょう!!

三角比を使って正多角形の面積を求めてみよう!

前々回、三角形の面積について説明しました。忘れた人は「【数学IA】三角形の面積を理解しましょう!」を再読してみてください。

 

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S先生

三角形の面積の公式、覚えていますか?

 

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たかし君

え~っと。。。

 

上述の「【数学IA】三角形の面積を理解しましょう!」の記事をみて欲しいのですが、三角形の面積の公式は以下の形ですね。

 

$
\begin{array}{rcll}
S&=&\text{底辺} \times \text{高さ} \div 2\\
&=&\dfrac{1}{2}ab \sin C
\end{array}
$

 

ちなみにabは三角形の斜辺の長さ、Cはsinの角度でしたよね。この三角形の面積の公式の意味を理解していない人、自信のない人は、「【数学IA】三角形の面積を理解しましょう!」の記事を読んで思い出しましょう。記憶というのは、何度も同じインプットを繰り返すことで強化されますので、何度読んでも無駄にはなりません。

 

まずは、円に内接する正多角形の面積について説明します。まずは、考え方のポイントからです。

正\(n\) 角形の面積 \(=\) 三角形の面積 \(\times n\)

このポイントを踏まえて、早速例題です。

例題半径\(2\) の円に内接する正八角形の面積を求めよ。

 

解くときに大事なことは、上のポイントでも示したように、正\(n\) 角形は同じ三角形が\(n\) 個集まってできています。今回の例題では正八角形なので、同じ三角形が\(8\) 個です。

\(8\) 個の三角形を一つ取り出すと、半径\(2\) の円に内接しているので、\(2\) 辺の長さが\(2\) で、その間の角が\(360°\) の\(\dfrac{1}{8}\) であることがわかります。この\(\dfrac{1}{8}\) となった三角形の面積を\(S’\)とするとこの\(S’\)の面積は、

 

$
\begin{array}{rcll}
S’&=&\dfrac{1}{2}\times2\times2\times \sin \displaystyle\left(360°\times \dfrac{1}{8} \right)\\
&=&\sqrt{2}
\end{array}
$

よって、全体の面積Sは


\(S=\sqrt{2}\times8=8\sqrt{2}\)

 

以上で正八角形の面積を求めることができました。

 

同じ考え方で、どんな正多角形の面積も計算できます。ただし、計算できるのは多角形のみです。正多角形でないときは、円に内接しないので中央の角度が計算できず、面積も求められません。

三角形に内接する円は?

正弦定理のときに、三角形に外接する円が出てきました。今度は内接円についても考えてみます。

この、三角形の面積と内心円の半径の関係を証明します。

 

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たかし君

また証明。。。

 

恐れなくても大丈夫です。この証明は難しくありません。

 

内心を\(I\)、\(\triangle ABC\) の面積を\(S\) とすると、

\(\triangle ABC=\triangle ABI+\triangle BCI+\triangle CAI\)

となる。これをそれぞれの長さを使って表すと、

\(S=\dfrac{ar}{2}+\dfrac{br}{2}+\dfrac{cr}{2}\)

よって、\(S=\dfrac{1}{2}(a+b+c)r\)

 

三角形に関する円の半径の求め方を簡単にまとめます。

 

\[
\left\{
\begin{array}{lcll}
\text{外接円の半径 → 正弦定理}\\
\text{内接円の半径 → 三角形の面積を利用して計算}
\end{array}
\right.
\]

 

では、内接円の半径に関する例題です。

例題\(\triangle C=90°\) をみたす直角三角形\(ABC\) において、\(BC=a\)、\(CA=b\)、\(AB=c\) 、内接円の半径を\(r\) とする。

(1) \(c=a+b-2r\) が成り立つことを示せ。

(2) 三角形の周の長さと内接円の直径の和が\(2\) のとき、\(c\) を\(r\) で表せ。

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S先生

図形問題を解くときに、まず最初にすることは?

 

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たかし君

図を描くことです!

 

そうです。わかっていることはできるだけ条件文に忠実に描きます。

(1) 内接円と辺\(BC\)、\(CA\)、\(AB\) との接点をそれぞれ\(D\)、\(E\)、\(F\) とおくと、\(CD=CE=r\) より、

\(AE=b-r, BD=a-r\) となるので、\(AF=AE=b-r, BF=BD=a-r\)

\(AB=AF+BF\) なので、それぞれを代入して、\(c=(a-r)+(b-r)\)

よって、


\(c=a+b-2r\)

 

(2) 「三角形の周の長さと内接円の直径の和が\(2\)」という条件を式で表すと、\(a+b+c+2r=2\cdots(A)\)

\(c\) を\(r\) で表すためには、式(A)中の\(a\) と\(b\) が邪魔です。ちょうど、式(A)にも(1)で求めた式にも「\(a+b\)」という部分があるので、(1)で求めた式を「\(a+b=\)」で始まる式に変形して、式(A)に代入します。

(1)より、\(a+b=c+2r\)

これを式(A)に代入すると、

$
\begin{array}{rcll}
c+2r+c+2r=2\\
2c=2-4r
\end{array}
$

よって、


\(c=1-2r\)

 

三角形の内接円の半径について少しだけ応用した問題でした。わからない人は繰り返し図形を書きながら理解していきましょう

今回のまとめ

今回は、図形と計量について正多角形の面積と三角形に内接する円について説明しました。数学ⅠAにおける三角比に関連した内容は、ここまでです。

 

今回の内容に限らず、三角比を使う問題は応用問題を作りやすく、センター試験、二次試験のどちらにおいてもよく出題されます。

 

三角比については公式や定理がたくさん出てきましたが、これを機械的に覚えようとすると、大変ですし、混乱したり試験中に抜けたりしがちです。覚えるのは定義だけにして、どうしてこういう公式や定理が導かれるのかを理解しておくことが、つまづき防止になります。

 

図形問題は、解けば解くほどパズル感覚で楽しめるようになります。繰り返し例題を解いて、自分の強みにしてしまいましょう。

 

なお、前回は、データの分析を勉強する理由をお話しました。次回からデータ分析についてお話をしていきます。詳しくは「【数学IA】データの分析を勉強する理由〜データ分析の社会的必要性〜」を読んでください。お疲れ様でした。

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