【数学IA】二次不等式をマスターしましょう!

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みなさん、こんにちは。「数学IA」の今回のテーマは、二次不等式です。これまでに習った二次方程式・二次曲線を、さらに少し発展させた内容になっていますが、面倒でもグラフを描いて理解していけば、しっかり理解できます。では、始めていきましょう。

 

ここでは、数学のテストで安定して得点できるようになるために、基礎から応用へとステップを踏んで説明します。数学が苦手な人は、始めは基礎の部分だけを克服して、苦手意識が払拭できてきたら徐々に応用に進んでもいいでしょう。

 

まずは、各カテゴリーで少しずつでも得点し、試験でどんな範囲が出ても安定的に得点できるようにすることが目標です。次のステップでは、入試対策として苦手な科目やカテゴリーを戦略的に克服して、できるだけ満点に近づけるように持っていきましょう。

 

この分野は、二次方程式・二次曲線と同じく、センター試験・二次試験のどちらにおいても、他の分野と合わせてよく出題される分野です。式と図の意味をきちんと理解していれば、難しいことはありません。自分の得意分野になるように、練習して定着させておきましょう。

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二次不等式とは?

二次不等式の「二次」については、以前二次方程式のときに説明しました。覚えていますか?

 【数学IA】二次方程式を理解しましょう!

 

つまり、二次不等式とは、例えば\(x^2-7x+9<0\) のような、二次の項を含む不等式のことです。

 

二次不等式を解いてみよう!

二次不等式、解き方はおおまかに二通りあります。

・グラフを描く方法
・因数分解する方法

 

グラフを描く方法だとミスが少ないですが、時間がかかります。因数分解する方法を使うと、グラフを描く時間は要りませんが、ミスが起きやすくなります。試験中にどちらを使うかは、自分に合った方法を選択するのがいいと思いますが、まずはグラフを描く方法を習得しましょう。

グラフを描く方法

グラフを描くといっても、簡単な図形的なもので十分です。繰り返し練習すれば、短時間で描けるようになります。

以前、二次曲線の記事中で、二次方程式というのは二次曲線のグラフのある点を切り取ったものであるという説明をしました。関数\(y=f(x)\) において、\(y=0\) の点、つまり放物線と\(x\) 軸が交わるところが二次方程式で表される点です。

二次不等式も同じです。では、二次不等式はどのように表わされるでしょうか?

\(x\) 軸というのは、\(y=0\) である点の集合です。ある関数\(f(x)\) が\(f(x)<0\) であるならば、グラフが\(x\) 軸より下にある部分の範囲を示し、逆に\(f(x)>0\) であれば、グラフが\(x\) 軸より上にある部分を示します。

もちろん、\(f(x)\) が\(x\) 軸と交わらない場合もあります。”解なし”という場合です。

例題を解いてみましょう。

例題次の二次不等式を解け。
(1) \(6x^2-7x+2>0\)

(2) \(-x^2+4x-7 \text{≧} 0\)
(3) \((x+2)(4-x) \text{≦} 0\)

(4) \(x^2-6x+9>0\)
(5) \(x^2-2x+2 \text{≧} 0\)

(6) \(x^2-10x+25 \text{≦} 0\)

どれも簡単なグラフを描いてみれば、解けます。まず始めにすることは、頂点を求めて、グラフの概形をつかむことです。

(1) 頂点を求めるために式変形すると、\(6(x-\frac{7}{12})^2+\frac{179}{144}\)

よって、頂点は\((\frac{7}{12}, -\frac{179}{144})\) で、\(y\) 軸より下に存在します。また、\(x^2\) の係数は正なので、放物線は下に凸です。ということは、グラフは\(x\) 軸と交わります。
因数分解すると、\((2x-1)(3x-2)>0\) となり、グラフは下のようになります。よって、答えは、


\(x<\frac{1}{2}, x>\frac{2}{3}\)


(2) 頂点を求めるために式変形すると、\(-x^2+4x-7=-(x-2)^2-3\)

よって頂点は\((2,-3)\) で\(x\) 軸より下にあり、放物線は上に凸なので、放物線は\(x\) 軸とは交わりません。グラフは上のようになります。よって、


解なし

こういった問題では、「判別式」という式を使って判断することもできます。

「\(y=ax^2+bx+c\) の放物線が\(x\) 軸と交わらない」ということは、「\(ax^2+bx+c=0\) が実数解を持たない」ということです。二次方程式の解の公式を思い出してください。

$$\normalsize x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

この公式において、ルートの中身が負の値のとき、解は虚数になり、実数解を持ちません。ルートの中身は、判別式と呼ばれ、実数解を持つか持たないかの判断に使われます。

\(ax^2+bx+c=0\)   判別式\(D=b^2-4ac\)
\(D\text{≧}0\) のとき、実数解をもつ
\(D<0\) のとき、実数解をもたない

(3) これは簡単!と飛びつくとミスします。数式をよく見ましょう。左辺の後半部分、\((4-x)\) の部分において\(x\) の係数は\(-1\) なので、いつもとは違います。式変形すると、

\((x+2)\left\{-(x-4)\right\}\text{≦} 0\)
\((x+2)(x-4) \text{≧} 0\)

グラフは下のようになります。よって、答えは、


\(x\text{≦}-2,x\text{≧}4\)

(4) 式変形すると、\((x-3)^2>0\)

イコールの部分は含まれていないことに注意してください。グラフは上のようになります。よって、答えは、


\(x=3\) 以外のすべての実数

ここで、すべての「数」としてはいけません。なぜなら、グラフに表される点の座標はすべて「実数」であり、「虚数」を含まないからです。

(5) 頂点を求めるため、式変形すると、\((x-1)^2+1\text{≧}0\)

頂点は\((1,1)\) で\(x\) 軸より上にあり、放物線は下に凸です。よって、グラフは\(x\) 軸と交わることはなく、常に\(x\) 軸より上にあります。(ちなみに、判別式は、\(D=b^2-4ac=(-2)^2-4\times2=-4<0\) です。)つまり、左辺は常に\(0\) 以上です。グラフは下のようになります。よって、


すべての実数

(6) 式変形すると、\((x-5)^2\text{≦}0\) となりますが、実数の範囲では、ある数の二乗が負の値になることはありません。よって、この数式が成り立つのは、等号のときのみです。グラフは上のようになります。答えは、


\(x=5\)

では、もう一つの解き方を解説します。

因数分解する方法

例として、二次不等式\(x^2-4x+3>0\) を使います。この関数は、以下のように因数分解されます。

 \((x-1)(x-3)>0\)

左辺の符号を、場合分けして考えます。

・\(x<1\) のとき
左辺前半部分の符号はマイナス、後半部分の符号もマイナスです。よって、マイナス\(\times\) マイナスで、符号はプラス
・\(1<x<3\) のとき 同様に、プラス\(\times\) マイナスで、符号はマイナス
・\(x>3\) のとき 同様に、プラス\(\times\) プラスで、符号はプラス

となります。よって、答えは\((x-1)(x-3)\) がプラスになる部分なので、\(x<1, x>3\)

 

この解き方は、グラフが描ければ必ずしも必要はありません。ただ、数式をいろんな角度から見られるように訓練しておくと、応用問題が出てきたときに柔軟に考えられるので、理解しておいて損はありません。

 

最後に、大学入試でよく出題される二次不等式の問題を解いてみましょう。

例題\(x^2+x-k>0\) の解がすべての実数となる\(k\) の範囲を求めよ。

解法は二つあります。

解法①

判別式を使います。\(x^2\) の係数が正なので、この二次不等式の解が全ての実数となるとき、\(y=x^2+x-k\) は\(x\) 軸と交わりません。つまり、判別式\(D<0\) となります。

\(D=b^2-4ac=1+4k<0\)

解法②

グラフを使って解いてみます。

\(x^2+x-k>0\) を式変形して、\(x^2+x>k\)

この両辺を、\(y=f(x)=x^2+x\)、\(y=g(x)=k\) とおきます。すると、この問題は、「すべての実数\(x\) において、\(f(x)>g(x)\) となるような、\(k\) の範囲を求めよ。」と置き換えられます。

関数\(f(x)\) を式変形すると、\(f(x)=(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}\) となり、放物線は、頂点を\((-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})\) に持つ、下に凸の形となります。

\(k\) の値を動かすということは、\(y=g(x)=k\) の直線を上下に動かすということです。では、常に\(f(x)>g(x)\) となるには、\(k\) がどこに存在すればよいでしょうか?

そうです、答えは、


\(k<-\frac{1}{4}\)

理解できたでしょうか。二次不等式は、二次曲線を理解していないと始まりません。逆に言えば、グラフさえきちんと理解しておけば、必ず答えにたどり着けるのです。初めのうちは、遠回りになっても、グラフを描いていろいろ考えてみるのが大切です。自分で試行錯誤していろんな角度からグラフと数式を見ることは、結果的に確固たる武器になります。練習あるのみです。頑張りましょう!

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