対数の基本をわかりやすく解説!【数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【対数】です

たなか君
たなか君
対数がわからない!!!


「指数はまだなんとかなったけど、対数ってはじめて聞くし…」と不安になっている人もいることでしょう。

たしかに、対数を理解するためには、これまで習っていない新たな考え方を知る必要があります。

 

でも、安心してください。

この記事を読み終えたときには、対数とは何か、対数はどのような性質があるのかを理解できているはずです。

 

というわけで今回は、対数の定義から対数の基本的な値まで、対数の基本のすべてを、とにかく丁寧にわかりやすく解説していきます。

これさえ読めば対数の基本は完ぺきにマスターできるので、安心してついてきてくださいね。

それでは、さっそく解説を始めていきます。

 

この記事を15分で読んでできること・対数とは何かがわかる

・対数の基本的な値がわかる

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そもそも対数とは?

   

まず、いきなりですが、対数の定義から確認しましょう。

対数の定義

$a$を$0<a<1$、$1<a$をみたす定数とする

任意の正の実数$M$に対して、$a^{p}=M$となる実数$p$がただ1つ定まる

この$p$を$a$を底とする$M$の対数といい、$p=\log_a{M}$と表す

また、$M$をこの対数の真数という

文で確認しても、まだよくわからない人もいるでしょう。

具体的な数字を当てはめて考えてみましょう。

 

例えば、$a=3$、$M=5$を考えます。

このとき、$3^{p}=5$となる実数$p$がただ1つに定まります。

そして、この$p$を3を底とする5の対数といい、$p=log_3{5}$と表します。

また、5をこの対数の真数といいます。

 

なかなか慣れない考え方でむずかしいですね。

$a^{p}=M$が成り立つときの指数$p$のことを$a$を底とする$M$の対数ということ、この$p$を$p=\log_a{M}$と表すことを覚えておきましょう。

 

また、定義でも注記したとおり、底$a$は$0<a<1$、$1<a$、真数$M$は$M>0$という条件を持つことを押さえておきましょう。

対数と指数の関係

まだ対数が何だかよくわからない…という人も安心してください。

対数と指数の関係を見ることで、対数とは何かが理解できるようになります。

(指数について不安がある方はまずこの記事から⇒指数法則についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】)

 

$a^{p}=M$が成り立つときの指数$P$のことを$a$を底とする$M$の対数といい、$p=\log_a{M}$と表すんでしたね。

つまり、対数と指数の関係は次のようになっています。

対数と指数の関係

$0<a<1$または$1<a$とすると

$$a^{X}=Y\Longleftrightarrow X=\log_a{Y}$$

すなわち、$a^{\log_a{Y}}=Y$

こうすることでかなりわかりやすくなったのではないでしょうか?

 

例えば、$a=3$、$M=5$を考えると、

$3^{x}=5\Longleftrightarrow X=\log_3{5}$が成り立ちます。

 

対数とは何かのイメージが十分つかめたところで、対数の基本的な値について勉強しましょう。

対数の基本的な値

ここでは、覚えておくべき対数の基本的な値を4つ紹介します。

対数の基本的な値

$$\log_a{a}=1$$

$$\log_a{1}=0$$

$$\log_a{\frac{1}{a}}=-1$$

$$\log_a{\sqrt[n]{a}}=\frac{1}{n}$$

それぞれ、$a^{1}=a$、$a^{0}=1$、$a^{-1}=\frac{1}{a}$、$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$から導くことができます。

しっかりと頭に入れておきましょう。

対数の練習問題を解いてみよう

問題

次の値を求めましょう。

①$\log_2{8}$

②$log_3{\frac{1}{9}}$

③$log_2{\sqrt[3]{2}}$

解答

①$\log_2{8}$

$2^{3}=8$なので、$\log_2{8}=3$…(答)

 

②$log_3{\frac{1}{9}}$

$3^{-2}=\frac{1}{9}$なので、$log_3{\frac{1}{9}}=-2$…(答)

 

③$log_2{\sqrt[3]{2}}$

$2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}$なので、$log_2{\sqrt[3]{2}}=\frac{1}{3}$…(答)

今回のまとめ

 

今回は、対数の基礎について解説してきました。

 

対数は、はじめて習う新しい考え方で、慣れるまではむずかしく感じてしまう人も多いでしょう。しかし、指数をきちんと理解していれば、対数の問題もすらすらと解くことができます。

 

指数について不安な方はしっかりと復習しておきましょう。

(⇒指数法則についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

 

今回もおつかれさまでした。

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コメント

  1. […] […]

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