練習問題を解いて対数関数をマスターしよう【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【対数関数】です。

たなか君
たなか君
「対数関数が得意です」って言えるようになりたい!
 

今回はこんなたかしくんの要望に応えて、対数関数の問題を

準備しました。

※そもそも対数関数ってどうやって解くんだろう…という方は、こちらの記事で勉強してから取り組むことをおすすめします。(→対数方程式・対数不等式についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】)

 

やはり多くの問題を解くことよりも良い勉強法はありません。

「はやく」「正確に」のどちらとも意識しながら解いていきましょう。

 

それでは、さっそく始めていきます。

 

この記事を読んでできること・対数関数の問題がたくさん解ける
・自分の苦手なところがわかる

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練習問題を解いてみよう

問題

次の対数方程式・対数不等式を解きましょう。

①$\log_3 x=\log_3 (x^{2}-2)$

②$\log_2 (x^{2}+6x)=4$

③$\log_2 (x-8)<log_2 3$

④$\log_2 (x^{2}-4)<3$

⑤$\log_\frac{1}{3} (x-1)>\log_\frac{1}{3} 8$

⑥$\log_\frac{1}{2} (x^{2}-x)<\log_\frac{1}{2} 20$

⑦$\log_2 (x-2)=\log_4 9$

解答

①$\log_3 x=\log_3 (x^{2}-2)$

$x=x^{2}-2$

$x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)=0$

$x=-1, 2$

真数条件より $x=2$…(答)

 

②$\log_2 (x^{2}+6x)=4$

$x^{2}+6x=2^{4}=16$

$x^{2}+6x-16=(x+8)(x-2)=0$

$x=-8, 2$

真数条件より $x=-8, 2$…(答)

 

③$\log_2 (x-8)<log_2 3$

底が1より大きいので

$x-8<3$

$x<11$

真数条件より $x-8>0$

$8<x$

以上より $8<x<11$…(答)

 

④$\log_2 (x^{2}-4)<3$

底が1より大きいので

$x^{2}-4<2^{3}=8$

$x^{2}<12$

$-2\sqrt{3}<x<2\sqrt{3}$

真数条件より $x^{2}-4=(x+2)(x-2)>0$

$x<-2, 2<x$

以上より $-2\sqrt{3}<x<-2, 2<x<2\sqrt{3}$…(答)

 

⑤$\log_\frac{1}{3} (x-1)>\log_\frac{1}{3} 8$

底が1より小さいので

$x-1<8$

$x<9$

真数条件より $x-1>0$

$1<x$

以上より $1<x<9$…(答)

 

⑥$\log_\frac{1}{2} (x^{2}-x)<\log_\frac{1}{2} 20$

底が1より小さいので

$x^{2}-x>20$

$x^{2}-x-20=(x+4)(x-5)>0$

$x<-4, 5<x$

真数条件より $x^{2}-x=x(x-1)>0$

$x<0, 1<x$

以上より $x<-4, 5<x$…(答)

 

⑦$\log_2 (x-2)=\log_4 9$

底を2に変換すると

$\log_2 (x-2)=\frac{\log_2 9}{\log_2 4}=\frac{2\log_2 3}{2\log_2 2}$

$log_2 (x-2)=\log_2 3$

$x-2=3$

$x=5$

真数条件$x-2>0$を満たすので$x=5$…(答)

今回のまとめ

今回は、対数関数の練習問題を解いてきました。

 

「はやく」「正確に」解くことができましたか??

今回扱った問題は、教科書の例題~練習問題のレベルです。

 

なかには、かんたんすぎると感じた人もいたかもしれません。

そういう人は、青チャートやプラチカなど、レベルの高い問題にも挑戦してみてください。

 

今回もおつかれさまでした。

数ⅡB おすすめの問題集

基礎を固めた方におすすめしたのが、旺文社の『数学Ⅱ・B 標準問題精講』です。

数学Ⅱ・B 標準問題精講』には、大学入試レベルの問題が200問程度のっています。

これらすべてを解けるようになれば、ほとんどの問題に対応することができるでしょう。

解けない問題がなくなるまで、繰り返し練習するのにおすすめの一冊です。

 

他のレベルについては、こちらの記事をご覧ください。

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