対数方程式・対数不等式についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【対数方程式・対数不等式】です。

指数方程式・指数不等式みたいな感じなのかな…?
たなかくん
たなかくん


たかしくんが予想しているとおり、対数方程式・対数不等式は指数方程式・指数不等式と同様の考え方で解くことができます。

 

対数関数のグラフをイメージするとかんたんに解くことができるので、対数関数に不安がある人は今のうちに復習しておきましょう。

 

いつもどおり練習問題も準備しています。

たくさん練習問題を解いて、対数方程式・対数不等式が得意と言えるようになりましょう。

 

それでは、さっそく始めていきます。

 

この記事を15分で読んでできること・対数方程式・対数不等式とは何かがわかる

・対数方程式・対数不等式の解き方がわかる

・自分で実際に対数方程式・対数不等式を解ける

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対数方程式・対数不等式の解き方

いきなりですが、対数方程式について次のことが成り立ちます。

対数方程式

※$0<a<1$, $1<a$, X, Yは正の実数

$$\log_a X=\log_a Y \Longleftrightarrow X=Y$$

つまり、対数方程式において、底が同じであれば真数同士の方程式として解くことができるというわけです。

 

例えば、$\log_3 x=\log_3 8$を解くと、$x=8$となります。

 

続いて、対数不等式について確認しましょう。

対数不等式は、指数不等式と同様に、グラフをイメージするのが良いでしょう。

 

対数不等式については、次のことが成り立ちます。

 

対数不等式

※$0<a<1$, $1<a$, X, Yは正の実数

$a>1$のとき $\log_a X<\log_a Y \Longleftrightarrow X<Y$

$0<a<1$のとき $\log_a X<\log_a Y \Longleftrightarrow X>Y$

 

例えば、$\log_3 x<\log_3 8$は、底が1より大きいので、不等号の向きは変えずに$x<8$となります。

ただし、ここで注意しなくてはならないことがあります。

 

$x<8$では誤りだと気付けましたか?

 

$x<8$という解答は、真数条件を考慮できていませんね。

対数方程式・対数不等式を解くときは、真数条件にも注意しなくてはいけません。

 

対数方程式・対数不等式の解き方と注意すべき点がわかったところで、さっそく練習問題を解いてみましょう。

練習問題を解いてみよう

問題

①$\log_2 (x-1)=\log_2 8$

②$\log_3 (x+2)<\log_3 4$

③$\log_\frac{1}{2} (x+1)>3$

解答

①$\log_2 (x-1)=\log_2 8$

$x-1=8$

$x=9$…(答)

 

②$\log_3 (x+2)<\log_3 4$

真数条件より $0<x+2$

$-2<x$

 

底が1より大きいので $x+2<4$

$x<2$

 

以上より $-2<x<2$…(答)

 

③$\log_\frac{1}{2} (x+1)>3$

真数条件より $0<x+1$

$-1<x$

 

$3=\log_\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{3}$

底が1より小さいので $x+1< (\frac{1}{2})^{3}=\frac{1}{8}$

$x<-\frac{7}{8}$

 

以上より $-1<x<-\frac{7}{8}$

今回のまとめ

今回は、対数方程式・対数不等式について解説してきました。

 

指数方程式・指数不等式と同様の考え方で、理解しやすかったことでしょう。

また、練習問題も解いたので、これから自信をもって対数方程式・対数不等式を解けるのではないでしょうか?

 

今回は基礎的なレベルの問題を扱ったので、問題集にあるよりむずかしい問題にもぜひ挑戦してみてください。

 

今回もおつかれさまでした。

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他のレベルについては、こちらの記事をご覧ください。

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