対数法則をわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【対数法則】です。

対数の基本を勉強したからもう大丈夫!対数法則も理解できるはず!
たなか君
たなか君
 

前回、対数の基本について解説しました。(⇒これさえ読めばすべてがわかる!対数の基本をわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

対数の基本、指数法則をきちんと理解していれば、対数法則もかんたんにマスターすることができます。

 

今回は対数法則について解説していきますが、もし対数の基本や指数法則に不安がある方は、まずはそちらの記事から確認してください。

 

それでは、今回は、対数法則について解説していきます。

さっそく始めていきましょう。

 

この記事を15分で読んでできること・対数法則とは何かがわかる

・自分で実際に対数法則をつかえる

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対数法則とは?

対数法則とは、その名のとおり「対数」に関する法則のことです。

対数とは、$a$を$p$乗すると$M$になるときの$p$のこと($a$を底とする$M$の対数)で、$p=\log_a{M}$と表されるものでしたね。

 

それでは、いきなりですが、対数法則を3つ紹介します。

対数法則

$$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$$

$$\log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}$$

$$\log_a{M^{p}}=p\log_a{M}$$

これらの式を導くポイントは、$M=a^{\log_a{M}}$、$N=a^{\log_a{N}}$です。

(この変形がわからない人はこちら⇒これさえ読めばすべてがわかる!対数の基本をわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

 

では、これを踏まえて、1つ目の式から見ていきましょう。

$MN=a^{\log_a{M}}a^{\log_a{N}}=a^{\log_a{M}+\log_a{N}}$

対数の定義から$\log_a{MN}=\log_a{M}+\log_a{N}$となります。

 

続いて、2つ目の式です。

$\frac{M}{N}=\frac{a^{\log_a{M}}}{a^{\log_a{N}}}=a^{\log_a{M}-\log_a{N}}$

対数の定義から$\log_a{\frac{M}{N}}=\log_a{M}-\log_a{N}$

 

最後に、3つ目の式です。

$M^{p}=(a^{\log_a{M}})^{p}=a^{p\log_a{M}}$

対数の定義から$\log_a{M^{p}}=p\log_a{M}$

 

これまで$2^{3}=8$だから$\log_2{8}=3$と習ってきましたが、実は次のような手順で導かれています。

①$\log_2{8}=log_2{2^{3}}$

②対数法則より$\log_2{2^{3}}=3\log_2{2}$

③$\log_a{a}=1$より$3\log_2{2}=3\times 1=3$

 

対数法則の3つの式、理解できたでしょうか。

続いて練習問題を解いてみましょう。

対数法則がどこで使えるかを意識しながら解いてみてください

練習問題を解いてみよう

問題

①$\log_2{3}+\log_2{6}$

②$\log_2{18}-1$

解答

①$\log_2{3}+\log_2{6}$

対数法則より$\log_2{3}+\log_2{6}=\log_2{18}$

 

②$\log_2{18}-1$

$1=\log_2{2}$なので、与式は$\log_2{18}-\log_2{2}$

対数法則より$\log_2{18}-\log_2{2}=\log_2{\frac{18}{2}}$

$=\log_2{9}$

$=\log_2{3^{2}}$

$=2\log_2{3}$

今回のまとめ

今回は、対数法則について解説してきました。

 

指数法則や対数の基本を押さえていれば、対数法則も理解することができたのではないでしょうか。

 

まだむずかしいと感じている人も大丈夫です。

繰り返し問題を解くことで、対数法則をマスターすることができるはずです。

おすすめの問題集も紹介しますので、対数法則の問題をたくさん解きましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

数ⅡB おすすめの問題集

 

基礎を固めた方におすすめしたのが、旺文社の『数学Ⅱ・B 標準問題精講』です。

 

数学Ⅱ・B 標準問題精講』には、大学入試レベルの問題が200問程度のっています。

これらすべてを解けるようになれば、ほとんどの問題に対応することができるでしょう。

 

解けない問題がなくなるまで、繰り返し練習するのにおすすめの一冊です。

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