皆さんは、数学ⅡBの苦手な分野はどこですか？
多くの受験生にとって、苦手とするテーマとして指数関数があります。そして累乗根の性質は、指数関数を勉強するうえで絶対に押さえておきたい重要なポイントです。
そこで、今回は【累乗根の性質】について勉強をします。
累乗根とは、$n$乗して$a$になる数、すなわち$n$乗根の総称のことでした。（そもそも累乗根とは？について不安が残る人は、こちらの記事を先に確認しましょう。⇒「累乗根についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】）
それでは、さっそく始めていきましょう。
・自分で実際に累乗根の性質をつかって問題を解ける
累乗根の基本性質
$a>0$のとき、$a$の$n$乗根で正となるものが$\sqrt[n]{a}$でしたね。
こうした累乗根の基本的な性質を確認しておきましょう。
※$a>0$、$n$を正の整数とする
$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$
$$\sqrt[n]{a}>0$$
$$(\sqrt[n]{a})^{n}=a$$
$$(\sqrt[n]{a^{n}})=a$$
1つ目は、$a$の$\frac{1}{n}$乗が$a$の$n$乗根になるというものです。
$n=2$のとき、すなわち$a^{\frac{1}{2}}$は、特別に2を省略して$\sqrt{a}$と表します。
2つ目は、$a$の$n$乗根のうち、正のものを$\sqrt[n]{a}$とするというものです。
（累乗根の正負、個数については前回説明しています。⇒「累乗根についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】
3つ目・4つ目は、$a$の$n$乗根の$n$乗、$a^{n}$の$n$乗根はともに$a$になるというものです。
$a^{n}$の$n$乗根が$n$乗すると$a$になる数であることを思い出すと、かんたんに理解できるはずです。
続いて、累乗根を含む計算において覚えておくべき累乗根の性質を解説します。
押さえておきたい累乗根の性質
いきなりですが、覚えておくべき累乗根の性質は次のとおりです。
※$a>0$、$b>0$、m、n、pを正の整数とする。
$$\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$
$$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$$
$$(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$$
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$$
$$\sqrt[n]{a^{m}}=\sqrt[np]{a^{mp}}$$
1つ目、2つ目は、これまで習ってきた計算とあまり変わらず、わかりやすいですね。
当然と思う人もいるかもしれませんが、いずれも$n$乗根であることに注意しましょう。
例えば、$\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{10}=\sqrt[]{20}$は成り立ちますが、左辺が$\sqrt[3]{2}\sqrt[4]{10}$のような場合には計算することができません。
3つ目以降は、少しむずかしいかもしれません。
例えば、4つ目は、$\sqrt[4]{\sqrt[3]{a}}$、すなわち4乗すると「3乗すると$a$になる数」になる数は、$a$の12乗根であるということです。
これらの式を覚える一番かんたんな方法は、練習問題を繰り返し解くことです。
それでは、練習問題を解いていきましょう。
練習問題を解いてみよう
問題
■上の累乗根の性質をもとに、それぞれの式を変形しましょう。
①$(\sqrt[3]{a})^{4}$
②$\sqrt[5]{\sqrt{a}}$
■次の式を、ルートを使って表しましょう。
①$a^{\frac{m}{n}}$
解答
■上の累乗根の性質をもとに、それぞれの式を変形しましょう。
①$(\sqrt[3]{a})^{4}=\sqrt[3]{a^{4}}$
②$\sqrt[5]{\sqrt{a}}=\sqrt[10]{a}$
■次の式を、ルートを使って表しましょう。
①$a^{\frac{m}{n}}$
$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$、$(\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}$より
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$
今回のまとめ
今回は、累乗根の性質について解説してきました。
繰り返し述べているように、累乗根は指数関数・対数関数を学ぶ上で、基礎中の基礎となるものです。累乗根の性質について、しっかりと理解し、計算する際に累乗根の性質をつかえるようになりましょう。
次は、指数法則、指数関数…と続いていきます。
まずは、累乗根の性質をマスターし、自信をもって指数関数や対数関数の勉強に取り組めると良いですね。
今回もおつかれさまでした。引き続きがんばっていきましょう。
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