指数方程式・指数不等式についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【指数方程式・指数不等式】です。

指数方程式・指数不等式はかんたんという噂を聞いたんですけど…これは本当ですか??
たなかくん
たなかくん
S先生
S先生
はい、本当です。

指数方程式・指数不等式は「これって新しく習うこと?」と思えるくらいかんたんなものです。

とはいえ、指数方程式・指数不等式と言われても、正直よくわからないという人がほとんどでしょう。

そこで今回は、指数に関する方程式である指数方程式、指数に関する不等式である指数不等式について、丁寧にわかりやく解説していきます。

はじめに述べたように、実は指数方程式・指数不等式は一度勉強しさえされば、かんたんに理解できるものです。

あまり身構えずに、気楽に始めていきましょう。

この記事を15分で読んでできること・指数方程式・指数不等式とは何かがわかる

・指数方程式・指数不等式の解き方がわかる

・自分で実際に指数方程式・指数不等式を解ける

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指数方程式とは?

指数方程式とは、「指数に未知の変数$x$が含まれる方程式」のことです。

そう言われてもピンとこない人もいるでしょう。

「指数に未知の変数$x$が含まれる」数とは$2^{x}$のような数を意味します。

すなわち、「指数に未知の変数$x$が含まれる方程式」である指数方程式とは、$2^{x}=4$のような式のことです。

では、この指数方程式は、どのようにして解けばよいのでしょうか?

$2^{x}=4$を例に考えてみましょう。

例題

$2^{x}=4$の解を求めましょう。

多くの人は、$x=2$が解であるとわかるはずです。

では、それはどのようにして導きましたか?

「$2^{2}=4$だと覚えていたから」という人もいるかもしれません。

きっとそういう人も、実際には次の手順で考えていたはずです。

①まず、与えられた式$2^{x}=4$を、$2^{x}=2^{2}$に変形。

②指数に着目すると、$x=2$であれば等式が成り立つ。

 

これが指数方程式の解き方です。以下がまとめです。

指数方程式

※$0<a<1$、$1<a$、$X$、$Y$を実数とする

$$a^{X}=a^{Y}\Longleftrightarrow X=Y$$

 

はじめに指数方程式はかんたんと述べましたが、それが本当だとわかってもらえたのではないでしょうか?

指数不等式も同様に、かんたんに解くことができますよ。

引き続き、指数不等式について解説していきます。

指数不等式とは?

指数不等式とは、「指数に未知の変数$x$が含まれる不等式」のことです。

 

もうわかりますね。具体的には、$2^{x}>4$のような式です。

では、この指数不等式を解いてみましょう。

 

例題

$2^{x}>4$

先ほど同様、式を変形すると$2^{x}>2^{2}$となりますね。

では、$x>2$としても良いのでしょうか?

どうやら、そうしても良さそうですね。

それはなぜか?というと、底が2のとき、指数$x$が大きければ大きいほど、$2^{x}$の値が大きくなるからです。

このことは、次のグラフから確かめられます。

左のグラフが$1<a$のときの$y=a^{x}$、右のグラフが$0<a<1$のときの$y=a^{x}$でした。

(不安な人は前回の記事を確認しましょう。⇒指数関数についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

 

このグラフから、指数不等式の底が0以上1未満のときは、1以上のときと不等号の向きが反対になることがわかります。

まとめると次のようになります。

 

指数不等式

$a>1$のとき $a^{X}<a^{Y}\Longleftrightarrow X<Y$(不等号の向きが同じ

$0<a<1$のとき $a^{X}<a^{Y}\Longleftrightarrow X>Y$(不等号の向きが反対

練習問題を解いてみよう

問題

次の指数方程式・指数不等式を解きましょう。

①$2^{x}=16$

②$3^{x}<27$

③$(\frac{1}{2})^{x}>\frac{1}{8}$

解答

①$2^{x}=16$

$2^{x}=2^{4}$

$x=4$…(答)

 

②$3^{x}<27$

$3^{x}<3^{3}$

$3>1$なので、$x<3$…(答)

 

③$(\frac{1}{2})^{x}>\frac{1}{8}$

$(\frac{1}{2})^{x}>(\frac{1}{2})^{3}$

$\frac{1}{2}<1$なので、$x<3$…(答)

今回のまとめ

今回は、指数方程式・指数不等式について解説してきました。

 

指数方程式・指数不等式は、他の方程式・不等式同様、もしくはそれ以上にかんたんに解くことができましたね。

不等式のときは、「底が1より大きいか」によって場合分けすることを忘れないようにしましょう。

 

これで指数関数の単元は終わりです。

次回からは、対数関数が始まります。引き続きがんばっていきましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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