指数関数についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【指数関数】です。

指数って$a^{x}$の$x$のことだよな…
指数関数ってどういうものなんだろう?
たなかくん
たなかくん

指数関数は、たかしくんの言うように$a^{x}$の$x$、すなわち指数についての関数です。

そう言われても、「つまり、どういうこと??」と思う人がほとんどでしょう。

今回は、指数関数について、そもそも関数ってどういうもの?という基本から、指数関数のグラフまで、丁寧にわかりやすく解説していきます。

指数関数はむずかしいと思っている人も少なくないでしょうが、基本を押さえてしまえば応用は意外とかんたんなものです。

この記事を読んで、指数関数の基本をしっかりとマスターしましょう。それでは、今回もがんばっていきましょう。

この記事を15分で読んでできること・指数関数とは何かがわかる

・指数関数のグラフの形がわかる

・自分で実際に指数関数の問題を解ける

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そもそも指数関数とは?

まず、そもそも指数関数とは?ということについて説明します。

 

と、その前に、これまで一次関数、三角関数など、「関数」というものを勉強してきましたね。

では、「関数」とはなんでしょうか?

 

2つの変数$x$、$y$について、$x$の値が決まると、それに対応して$y$の値が1つ決まるとき、$y$は$x$の関数であるといいます。

 

例えば、一次関数$y=2x+1$であれば、$x=1$という値を決めると、$y=3$という値が得られます。

 

指数関数も同様です。

他の関数との違いは、「$x$が指数である」ということです。

 

指数関数についてまとめると、次のようになります。

 

指数関数

※$a$は$0<a<1$、$1<a$をみたす定数とする

$$y=a^{x}$$

と表される関数を$a$を底とする$x$の指数関数といいます。

例えば、$y=2^{x}$は2を底とする$x$の指数関数です。

関数なので、$x=1$とすると、$y=2$と1つに定まりますね。

指数関数では、底$a$の範囲が「0より大きい」かつ「1でない」ということを覚えておきましょう。

指数関数のグラフ

続いて、指数関数のグラフについて解説していきます。

 

下の2つのグラフは$y=a^{x}$のグラフの概形です。

なお、左が$a>1$のとき、右が$0<a<1$のときです。

指数関数のグラフについては、次のポイントを押さえておきましょう。

指数関数のグラフ

・定点(0, 1)を通る

・漸近線は$y=0$($x$軸)

・定義域は実数全体、値域は$y>0$

・$a>1$のとき、$x$の値が増加すると$y$の値も増加する

・$0<a<1$のとき、$x$の値が増加すると$y$の値は減少する

 

まず、$a^{0}=1$と定義されているので、$a$の値に関わらず、定点(0, 1)を通ります。

次に、$a^{n}$は正の数なので、$x$を大きく(もしくは小さく)すれば$y=a^{x}$は0($x$軸)に限りなく近づきますが、0になることはありません。

そして、$y$は$a$を$x$乗した数なので、正となります。

 

最後に、指数関数のグラフにおいて重要なのが、$a>1$のときと$0<a<1$のときでグラフの概形が異なるということです。

指数関数の問題では、つねに$a$の値の大きさを意識しましょう。

 

さて、次はいよいよ練習問題です。

練習問題を解いてみよう

問題

①$y=3^{x}$のグラフを書きましょう。

②$y=(\frac{1}{3})^{x}$のグラフを書きましょう。

解答

[解答のポイント]

①$y=3^{x}$のグラフを書きましょう。

・点(0, 1)で$y$軸と交わる右上がりの曲線

・点(-1, $\frac{1}{3}$)、(1, 3)、(2, 9)をとおる

・$y=0$($x$軸)が漸近線

 

②$y=(\frac{1}{3})^{x}$のグラフを書きましょう。

・点(0, 1)で$y$軸と交わる右下がりの曲線

・点(-2, 9)、(-1, 3)(1, $\frac{1}{3}$)をとおる

・$y=0$($x$軸)が漸近線

今回のまとめ

今回は、指数関数について解説しました。

指数関数は、指数$x$についての関数であり、はじめのうちはとてもむずかしく感じたかもしれません。

しかし実際は、他の関数と同様に、かんたんにグラフにすることができたのではないでしょうか?

関数の問題では、概形で良いので、グラフを書くことが大切です。

徐々に慣れていくと思いますので、はじめは時間がかかってしまっても、グラフを書くことを習慣付けましょう。

今回もおつかれさまでした。

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