みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【指数関数】です。
指数関数ってどういうものなんだろう？
指数関数は、たかしくんの言うように$a^{x}$の$x$、すなわち指数についての関数です。
そう言われても、「つまり、どういうこと？？」と思う人がほとんどでしょう。
今回は、指数関数について、そもそも関数ってどういうもの？という基本から、指数関数のグラフまで、丁寧にわかりやすく解説していきます。
指数関数はむずかしいと思っている人も少なくないでしょうが、基本を押さえてしまえば応用は意外とかんたんなものです。
この記事を読んで、指数関数の基本をしっかりとマスターしましょう。それでは、今回もがんばっていきましょう。
・指数関数のグラフの形がわかる
・自分で実際に指数関数の問題を解ける
そもそも指数関数とは？
まず、そもそも指数関数とは？ということについて説明します。
と、その前に、これまで一次関数、三角関数など、「関数」というものを勉強してきましたね。
では、「関数」とはなんでしょうか？
2つの変数$x$、$y$について、$x$の値が決まると、それに対応して$y$の値が1つ決まるとき、$y$は$x$の関数であるといいます。
例えば、一次関数$y=2x+1$であれば、$x=1$という値を決めると、$y=3$という値が得られます。
指数関数も同様です。
他の関数との違いは、「$x$が指数である」ということです。
指数関数についてまとめると、次のようになります。
※$a$は$0<a<1$、$1<a$をみたす定数とする
$$y=a^{x}$$
と表される関数を$a$を底とする$x$の指数関数といいます。
例えば、$y=2^{x}$は2を底とする$x$の指数関数です。
関数なので、$x=1$とすると、$y=2$と1つに定まりますね。
指数関数では、底$a$の範囲が「0より大きい」かつ「1でない」ということを覚えておきましょう。
指数関数のグラフ
続いて、指数関数のグラフについて解説していきます。
下の2つのグラフは$y=a^{x}$のグラフの概形です。
なお、左が$a>1$のとき、右が$0<a<1$のときです。
指数関数のグラフについては、次のポイントを押さえておきましょう。
・定点（0, 1）を通る
・漸近線は$y=0$（$x$軸）
・定義域は実数全体、値域は$y>0$
・$a>1$のとき、$x$の値が増加すると$y$の値も増加する
・$0<a<1$のとき、$x$の値が増加すると$y$の値は減少する
まず、$a^{0}=1$と定義されているので、$a$の値に関わらず、定点（0, 1）を通ります。
次に、$a^{n}$は正の数なので、$x$を大きく（もしくは小さく）すれば$y=a^{x}$は0（$x$軸）に限りなく近づきますが、0になることはありません。
そして、$y$は$a$を$x$乗した数なので、正となります。
最後に、指数関数のグラフにおいて重要なのが、$a>1$のときと$0<a<1$のときでグラフの概形が異なるということです。
指数関数の問題では、つねに$a$の値の大きさを意識しましょう。
さて、次はいよいよ練習問題です。
練習問題を解いてみよう
問題
①$y=3^{x}$のグラフを書きましょう。
②$y=(\frac{1}{3})^{x}$のグラフを書きましょう。
解答
[解答のポイント]
①$y=3^{x}$のグラフを書きましょう。
・点（0, 1）で$y$軸と交わる右上がりの曲線
・点（-1, $\frac{1}{3}$）、（1, 3）、（2, 9）をとおる
・$y=0$（$x$軸）が漸近線
②$y=(\frac{1}{3})^{x}$のグラフを書きましょう。
・点（0, 1）で$y$軸と交わる右下がりの曲線
・点（-2, 9）、（-1, 3）（1, $\frac{1}{3}$）をとおる
・$y=0$（$x$軸）が漸近線
今回のまとめ
今回は、指数関数について解説しました。
指数関数は、指数$x$についての関数であり、はじめのうちはとてもむずかしく感じたかもしれません。
しかし実際は、他の関数と同様に、かんたんにグラフにすることができたのではないでしょうか？
関数の問題では、概形で良いので、グラフを書くことが大切です。
徐々に慣れていくと思いますので、はじめは時間がかかってしまっても、グラフを書くことを習慣付けましょう。
今回もおつかれさまでした。
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