三角比の相互関係を表す式について解説【数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。

今回のテーマは【三角比の相互関係】です。

$\sin$、$\cos$、$\tan$の相互関係を表す式があるの!?
たなかくん
たなかくん

たかしくんの言うとおり、三角比、すなわち$\sin$、$\cos$、$\tan$の相互関係を表す式が存在します。

「また覚えることが増えて大変だ!」と思う人もいるかもしれません。

しかし、実はこの相互関係はすでに勉強したことからかんたんに導くことができます。

三角比の相互関係も、三角関数の問題を解くうえで非常に重要になる基本なので、ゆっくり丁寧に解説していきます。問題演習もありますのでしっかりとやりこみましょう。

それでは、さっそく始めていきましょう。

この記事を15分で読んでできること・三角比の相互関係がわかる
・三角比の相互関係を表す式が成り立つことがわかる

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三角比の相互関係とは?

いきなりですが、覚えてほしい三角比の相互関係の式を4つ紹介します。

三角比の相互関係

$$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$$

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$$1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$$

$$\frac{1}{\tan{2}\theta}+1=\frac{1}{\sin^{2}\theta}$$

※いずれも分母が0でない場合

はじめに「この相互関係はすでに勉強した」と述べましたが、なんのことか思い出しましたか?

正解は…

「三角比は円の座標を表現する」です。

単位円(半径が1の円)の円周上の点Pの座標がP(cosθ, sinθ)であることを勉強しましたね。

円の方程式から、単位円は$x^{2}+y^{2}=1$と表せるので

$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$が導けます。

図において$\tan\theta$は$\frac{PH}{OH}$なので、

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$となります。

3番目、4番目の式は、1番目の式をそれぞれ$\cos^{2}\theta$、$\sin^{2}\theta$で割ったものです。

それぞれ確認してみましょう。

$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$を$\cos^{2}\theta$で割ると、

$\frac{\cos^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta}=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$なので、

$1+\tan^{2}\theta==\frac{1}{\cos^{2}\theta}$

$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$を$\sin^{2}\theta$で割ると、

$\frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}+\frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\theta}=\frac{1}{\sin^{2}\theta}$

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$なので、

$\frac{1}{tan^{2}\theta}+1=\frac{1}{\sin^{2}\theta}$

ここまで、三角比の相互関係の式4つが成り立つことを確認してきました。

4つの式すべてを覚えておくのがベストですが、単位円の図を覚えておくとすべての式を導くことができます。

「三角比は円の座標を表現する」という考えだけは何が何でも忘れないようにしましょう。

今回のまとめ

今回は、三角比の相互関係について解説しました。

今の時点で、三角比の相互関係を表す4つの式が成り立つことを理解できていれば大丈夫です。

こう言われても、まだまだ不安という人が多いことでしょう。

練習問題をたくさん解くことで、記憶が定着しやすくなります。

今回勉強した三角比の相互関係をつかった練習問題に挑戦しましょう。

今回もおつかれさまでした。次回もがんばりましょう。

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