三角比の相互関係についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは、前回に引き続き【三角比の相互関係】です。

前回は、三角比の相互関係を表す4つの式について勉強しました。

今回は、それとあわせて覚えておきたい三角関数について説明していきます。

これらを覚えておくことで、三角関数の問題を解くスピードがぐっと上がります。ぜひ押さえておきましょう。

前回同様、今回もこれまでに勉強したことから導ける内容なので安心してください。

それでは、さっそく始めていきましょう。

この記事を15分で読んでできること・三角比の相互関係がわかる
・三角比の相互関係を表す式が成り立つことがわかる

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$-\theta$の三角関数

 

これまでは$\theta$のみについて勉強してきましたが、今回はいろいろな角度について式を確認していきます。

 

まずは、$-\theta$です。

図を書くと、かんたんにわかりますね。

$-\theta$の三角関数

$$\cos(-\theta)=\cos\theta$$

$$\sin(-\theta)=-\sin\theta$$

$$\tan(-\theta)=-\tan\theta$$

$\theta+\pi$・$\pi-\theta$の三角関数

 

続いて、$\theta+\pi$・$\pi-\theta$の三角関数です。

 

これも図を書いて考えましょう。

$\theta+\pi$は点Q、$\pi-\theta$は点Rについて考えればよいことになります。

 

よって、次のようにまとめられます。

$\theta+\pi$の三角関数

$$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$$

$$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$$

$$tan(\theta+\pi)=\tan\theta$$

$\pi-\theta$の三角関数

$$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$

$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$$

$$tan(\pi-\theta)=-\tan\theta$$

$\frac{\pi}{2}-\theta$・$\theta+\frac{\pi}{2}$の三角関数

 

最後に、$\frac{\pi}{2}-\theta$・$\theta+\frac{\pi}{2}$の三角関数です。

 

少しむずかしいですが、$\frac{\pi}{2}-\theta$について図を見ながら考えてみましょう。

$p=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)$, $q=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$です。

 

ここで、$\sin\theta$, $cos\theta$について考えてみましょう。

点Pからy軸におろした垂線の足をH’とすると、△OPH’が直角三角形です。

よって、$\sin\theta=p$, $cos\theta=q$であることがわかります。

 

p,qがそれぞれ2通りの方法で表せたので、方程式を作りましょう。

$p=\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$

$q=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$

 

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$より、

$\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\tan\theta}$

 

よって、次のようにまとめられます。

$\frac{\pi}{2}-\theta$の三角関数

$$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$$

$$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$$

$$\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{1}{\tan\theta}$$

では、$\theta+\frac{\pi}{2}$はどうでしょうか。

実は、$\theta+\frac{\pi}{2}=\pi-(\frac{\pi}{2}-\theta)$になっています。

つまり、$\frac{\pi}{2}-\theta$の三角関数と、$\pi-\theta$の三角関数から、次のようにまとめることができます。

$\theta+\frac{\pi}{2}$の三角関数

$$\cos(\theta+\frac{\pi}{2})=-\sin\theta$$

$$\sin(\theta+\frac{\pi}{2})=\cos\theta$$

$$\tan(\theta+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan\theta}$$

今回のまとめ

 

今回も引き続き、三角比の相互関係について解説しました。

 

いろいろな式を勉強しましたが、図を書けばどんな問題にも対応できると感じたのではないでしょうか?

図を書く時間がもったいないと思う人もいるかもしれませんが、図を書くことは正解への近道です。「急がば回れ」ということで、まずは図を書くところから始めましょう。

 

次回はいよいよ三角比の相互関係についての練習問題です。

 

今回もおつかれさまでした。

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