和と積の公式について「積から和」を解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【和と積の公式】です。

また公式…。多すぎて覚えられないよ…
たなか君
たなか君

三角関数は、覚えるべき公式が多い単元で、たかしくんのように苦手意識をもっている人も少なくないでしょう。

ここでみなさんに朗報です。

今回解説する「和と積の公式」は必ずしも覚える必要はありません。

なぜなら、「和と積の公式」は加法定理から導くことができるからです。

とはいえ、勉強しなくてもいいと言っているわけではありません。和と積の公式を使いこなすことができれば、三角関数の計算がよりはやく、よりかんたんになります。

和と積の公式を覚えるのがベストですが、和と積の公式の導き方を知っておくだけでも大きなアドバンテージとなります。

そこで、「和と積の公式」についてわかりやすく解説していきます。

なお、「和と積の公式」を「積から和」と「和から積」に分け、2回にわたって解説します。

今回は、「和と積の公式」の「積から和」の式について勉強していきましょう。

それでは、今回も張り切っていきましょう。

この記事を15分で読んでできること

・和と積の公式の導き方がわかる

・自分で実際に和と積の公式を導ける

・自分で実際に和と積の公式をつかえる

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和と積の公式「積から和」

いきなりですが、和と積の公式のうち、「積から和」を導く式を確認しましょう。

積から和の公式

$$\sin\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}$$

$$\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}$$

$$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}$$

$$\sin\alpha\sin\beta=-\frac{1}{2}{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}$$

はじめに、和と積の公式は加法定理から導けると言いました。

 

では、1番目の式を加法定理から導いてみましょう。

まず、加法定理から、次の2つの式が成り立ちます。

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

 

これらの式を足してみます。

$\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)+(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)$

$=2\sin\alpha\cos\beta$

 

両辺を2で割ると

$\frac{1}{2}{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}=\sin\alpha\cos\beta$

 

これで1つ目の式が導けました。同様にして、他の式も導いてみましょう。

練習問題を解いてみよう

問題

次の値を求めましょう。

$\sin37.5°\cos7.5°$

解答

$\sin37.5°\cos7.5°$

和と積の公式より、

$\sin37.5°\cos7.5°=\frac{1}{2}{\sin(37.5°+7.5°)+\sin(37.5°-7.5°)}$

$=\frac{1}{2}{\sin(45°)+\sin(30°)}$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2})$

$=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}+1}{2}$

$=\frac{\sqrt{2}+1}{4}$

今回のまとめ

今回は、和と積の公式のうち「積から和」を導く公式について解説してきました。

はじめは、またむずかしい式を覚えなきゃいけないのか…と気負っていた方も、加法定理からかんたんに導けるとわかってもらえたのではないでしょうか。

とはいえ、先に述べたように、この式を覚えておくに越したことはありません。

練習問題をたくさん解いて、公式を覚える、もしくはすぐに公式を導けるようになりましょう。

次回は、和と積の公式の「和から積」の公式について解説します。

また次回、一緒にがんばりましょう。

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