2倍角の公式・半角の公式についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【2倍角の公式】【半角の公式】です。

またまた公式だ…。三角関数は公式だらけ…。
たなか君
たなか君

気を落とすのはまだ早いです。

前回、加法定理の解説でお伝えしたとおり、三角関数で覚えなくてはいけない公式は加法定理までです。

すなわち、今回勉強する2倍角の公式、半角の公式は必ずしも覚えている必要はありません。

じゃあ見なくていいか…、そう思った人もいるでしょう。しかし、一度思いとどまってください。

たしかに2倍角の公式、半角の公式は、すでに勉強した公式から導くことができます。

ただし、まったくやり方を知らない人と、完全に覚えてはいなくてもなんとなくの流れを覚えている人、どちらが早く問題を解けるかは考えるまでもありません。

ということで、今回は2倍角の公式・半角の公式について勉強していきます。

 

この記事を15分で読んでできること・2倍角の公式・半角の公式とは何かがわかる

・2倍角の公式・半角の公式の導き方がわかる

・自分で実際に倍角の公式・半角の公式をつかえる

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2倍角の公式とは?

2倍角の公式とは、その名のとおり$2\theta$についての公式です。

では、2倍角の公式はどのように導くことができるのでしょうか?

もしかすると、「2倍」と聞いてピンときた人もいるかもしれません。

正解は…

加法定理です。

では、まず$\sin2\theta$を求めましょう。

$\sin2\theta=\sin(\theta+\theta)$

$=\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta$

$=2\sin\theta\cos\theta$

 

続いて、$\cos2\theta$を求めましょう。

$\cos2\theta=\cos(\theta+\theta)$

$=\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta$

$=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$…①

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$なので、

①は$1-2\sin^{2}\theta$, $2cos^{2}\theta-1$とも変形できます。

$\tan$についても同様のことを行うと、次のようにまとめることができます。

2倍角の公式

$$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$

$$\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$$

$$\cos2\theta=1-2\sin^{2}\theta$$

$$\cos2\theta=2cos^{2}\theta-1$$

$$\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}$$

半角の公式とは?

半角の公式とは、その名のとおり$\frac{\theta}{2}$についての公式で、次のようにまとめることができます。

 

半角の公式

$$\sin^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$$

$$\cos^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos\theta}{2}$$

$$\tan^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}$$

実は、この半角の公式は、2倍角の公式から導くことができます。

$\sin$を例に考えてみましょう。

2倍角の公式より、$\cos2\alpha=1-2\sin^{2}\alpha$

すなわち、$\sin^{2}\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}{2}$

この式で$\alpha=\frac{\theta}{2}$とおくと

$sin^{2}\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}$

$\cos$、$\tan$のついても同様にして導けます。

練習問題を解いてみよう

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$において、$\sin\theta=\frac{2}{3}$のとき、$\sin2\theta$の値を求めよう。

解答

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$において、$\sin\theta=\frac{2}{3}$のとき、$\sin2\theta$の値を求めましょう。

 

2倍角の公式から、$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$

 

$\cos^{2}+\sin^{2}=1$より

$\cos^{2}=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$

 

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$より

$\cos\theta=\frac{\sqrt{5}}{3}$

 

よって、$\sin2\theta=2\times \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{5}}{3}$

整理して、$\sin2\theta=\frac{4\sqrt{5}}{9}$

今回のまとめ

今回は、2倍角の公式・半角の公式について解説しました。

 

2倍角の公式が加法定理から、半角の公式が2倍角の公式から導けることを理解してもらえたことでしょう。

 

はじめに述べたように、2倍角の公式・半角の公式は暗記しておかなければならないわけではありません。しかし、今回勉強した公式の導き方を頭に入れておくことで、問題を解くスピードを上げることができます。

しっかりと復習して、より早く問題を解けるようになりましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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