練習問題を解いて三角比の相互関係をマスターしよう【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【三角比の相互関係】です。

 

S先生
S先生
「三角比は円の座標を表現する」がポイント!

前回、たかしくんの言うとおり「三角比は円の座標を表現する」ということから、三角比の相互関係を表す4つの式を導きました。

今回のゴールは、三角比の相互関係を表す式をつかう練習問題を解くことで、三角比の相互関係についての理解を定着させることです。

 

この記事を読んでできること・三角比の相互関係をつかって問題が解ける

・三角比の相互関係のついての理解を定着させる

[ad]

[ad]

三角比の相互関係の復習

 

さて、今回は三角比の相互関係をつかった練習問題を解くわけですが、練習問題を解くに先立って、念のため復習しておきましょう。

もう大丈夫という人はいきなり練習問題に挑戦してもかまいません。

三角比の相互関係を考えるにあたって重要なことは「図を書くこと」でした

なぜなら、「三角比は円の座標を表現する」からです。

わからない問題にぶつかったときは、まず図を書くようにしましょう。

それでもわからなければ、ここに戻って公式を確認しながら解きましょう。

すぐに答えを見るのではなく、できることをやることが大切です。

 

三角比の相互関係①

$$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1$$

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

$$1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$$

$$\frac{1}{\tan{2}\theta}+1=\frac{1}{\sin^{2}\theta}$$

※いずれも分母が0でない場合

 

三角比の相互関係②

$$\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$$

$$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$$

$$tan(\theta+\pi)=\tan\theta$$

練習問題を解いてみよう

問題

 

①$0<\theta<\pi$において、$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき、$\sin\theta$、$\tan\theta$の値を求めよう。(有理化はしなくてもよい。)

 

②$0<\theta<\pi$において、$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{1}{2}$のとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値を求めよう。

 

③$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$のとき、$\sin\theta\cos\theta$の値を求めよう。

解答

①$0<\theta<\pi$において、$\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}$のとき、$\sin\theta$、$\tan\theta$の値を求めよう。(有理化はしなくてもよい。)

 

$\sin^{2}\theta=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$

 

$0<\theta<\pi$より、$\sin\theta>0$なので

$\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$

 

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$より、

$\tan\theta=\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=2$

 

$\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}}$, $\tan\theta=2$…(答)

 

②$0<\theta<\pi$において、$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{1}{2}$のとき、$\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$の値を求めよう。

 

$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\frac{1}{2}$より

$\cos\theta=\frac{1}{2}$

 

$\sin\theta>0$なので、$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$より、$\tan\theta=\sqrt{3}$

 

$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\theta=\frac{1}{2}$, $\tan\theta=\sqrt{3}$…(答)

 

③$\sin\theta+\cos\theta=\frac{1}{2}$のとき、$\sin\theta\cos\theta$の値を求めよう。

 

両辺を2乗すると、

$sin^{2}+cos^{2}+2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}$

 

$sin^{2}+cos^{2}=1$より

$2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}-1$

$\sin\theta\cos\theta=-\frac{3}{8}$…(答)

今回のまとめ

 

今回は、三角比の相互関係をつかった問題を解説しました。

 

はじめのうちは公式を確認しながら解いていたかもしれませんが、もう確認しなくてもわかるようになったのではないでしょうか。

練習問題を繰り返し解くと、計算のスピードはもちろん、使うべき公式の選択もはやくなります。

 

これからもたくさん練習問題を解いていきましょう。

教科書レベルの問題が物足りたくなったら、次に紹介する『数学Ⅱ・B 標準問題精講』(旺文社)がおすすめです。

 

今回もおつかれさまでした。

数ⅡB おすすめの問題集

 

基礎を固めた方におすすめしたのが、旺文社の『数学Ⅱ・B 標準問題精講』です。

『数学Ⅱ・B 標準問題精講』には、大学入試レベルの問題が200問程度のっています。

これらすべてを解けるようになれば、ほとんどの問題に対応することができるでしょう。

解けない問題がなくなるまで、繰り返し練習するのにおすすめの一冊です。

[ad]

[ad]

にほんブログ村 受験ブログへ
にほんブログ村

にほんブログ村 受験ブログ 大学受験(本人・親)へ
にほんブログ村

 

 

コメント

タイトルとURLをコピーしました