一次不等式の解き方が分かって問題が解ける！演習問題つき！【数学IA】

みなさん、こんにちは。今回のテーマは、一次不等式の解き方を解説します。「一次方程式なら中学校で習ったけど…」という感じでしょうか。不等式特有の性質はありますが、不等号が出てきただけで、基本的には一次方程式と解き方は変わりません。

この分野は、これまで習った一次方程式を少し発展させたとはいえ、まだまだ基本的な計算の分野です。試験では、この分野を踏まえて、文章問題や証明問題などが出されます。

今回の記事では一次不等式を最初から解き方を含め解説し、問題演習をしていきます。しっかりと繰り返し力をつけていきましょう。

一次不等式とは？

不等式とは、不等号（≦、≧、＜、＞）を用いて大小を表している式のことです。中学校で習った不等式を思い出してみましょう。

$$4 \text{≦} 7$$

高校数学では、これを発展させて、文字を含む一次不等式を解けるようにします。一次方程式と解法はとてもよく似ていますが、答えはある特定の値ではなく、$x \text{≦} 2$や$a>5$といった範囲を表す形になります。

では、一次不等式を特にあたって、一次方程式と共通する性質・共通しない性質をみていきます。新たに覚える箇所は、共通しない部分のみです。

一次方程式と共通する性質

すべて$A<B$であるとします。「大なり」「小なり」の等号の記号の向きが問題となります。

   一次不等式の性質①

$A+C<B+C$、$A-C<B-C$
不等式の両辺に同じ数を足したり引いたりしても、不等号の向きは変わりません。正直、「数と式」で触ったような普通の計算を行うだけで、等号の向きに変化はないのです。

   一次不等式の性質②

$C>0$ ならば、$A\times C<B\times C$、$A\div C<B\div C$
不等式の両辺に同じ正の数をかけたり、また両辺を同じ正の数で割ったりしても、不等号の向きは変わりません。これは①の足す、引くの話と一緒です。

一次方程式と異なる性質

一次不等式を解くときはこの性質に注意です。負の整数の「かける」と「割る」について問題となります。（正の整数は問題になりません）

   一次不等式の性質③

$C<0$ ならば、$A\times C>B\times C$、$A\div C>B\div C$
不等式の両辺に同じ負の数をかけたり、また両辺を同じ負の数で割ったりすると、不等号の向きが変わります。

それでは、これらの性質を使って、問題を解いてみましょう。

一次不等式を解いてみよう！

まずは、基本的な例題からです。

求める$x$を左辺に集めるのは、一次方程式と同じです。このときに使っているのは、不等式の性質①です。

$
$$\begin{array}{rcll} x-3x&<&-5-6\\ -2x&<&-11\hspace{5mm}&\cdots(1) \end{array}$$
$

答えを求めるには、両辺を$-2$で割る必要があります。ここで思い出すのは、不等式の性質③です。

不等式の両辺に同じ負の数をかけたり、また両辺を同じ負の数で割ったりすると、不等号の向きが変わります。

よって、
$x>\frac{11}{2}$

この例題では、不等式の性質③を使いました。覚えるのが苦手で…という人、次のように考え方を変えると、覚えることが少なくなります。

通常では、左辺に$x$ を含む項を、右辺に定数項をまとめるようにしますね。それを、左辺・右辺どちらでもよいので、$x$を含む項を、係数が正の数になるように移動させるのです。式$(1)$ から、左辺$-2x$を右辺に、右辺$-11$を左辺にうつします。

$
$$\begin{array}{rcll} 11&<&2x\\ \frac{11}{2}&<&x\\ x&>&\frac{11}{2} \end{array}$$
$

最後、答えとして$x$ の範囲を記入するときは、$x$ が左辺になるように不等号を含めて書き換える必要がありますが、こちらの方がわかりやすいという人は、この方法で計算を進めるのもいいでしょう。

前回習った、絶対値を含む問題もあります。絶対値を覚えていない人は「【数学IA】絶対値と平方根を理解しよう！」をみてください。

HIMOKURI

2019.10.13

【数学IA】絶対値と平方根の計算を解こう！

https://wearewhatwerepeatedlydo.com/zetaichitoheihokon

みなさん、こんにちは。「数学IA」の今回のテーマは、絶対値と平方根です。中学数学で習った基礎から少し発展させた、数の概念を学びます。 ここでは、数学のテストで安定して得点できるようになるために、絶対値と平方根について基礎から応用へとステップを踏んで説明します。具体的には初歩的な説明から大学入試に耐えうる問題まで出題します。 数学が苦手な人は、始めは基礎の部分だけを克服して、苦手意識が払拭できてきたら徐々に応用に進んでもいいでしょう。 まずは、各カテゴリーで少しずつでも得点し、試験で...

絶対値の問題、大事なことは何でしたか？

そうです。絶対値をはずすときは、中身の符号で場合分けです。これは不等式でも等式でも同じです。

(1) $3x-8>0$ のとき、つまり$x>\frac{8}{3}$ のとき

$
$$\begin{array}{rcll} 3x-8&>&4\\ 3x&<&12\\ x&<&4 \end{array}$$
$

図示してみます。ピンクで示す範囲は一次不等式を解いて求めた$x$ の範囲です。青で示す範囲は場合分けから求めた$x$の範囲です。（どちらの範囲も、$x=4$、$x=\frac{8}{3}$ を含まないので、白い〇で表現してあります。）

場合分けから求めた、絶対値をはずす条件（＝青の範囲）の中に、不等式の解が含まれていなければなりません。つまり、青とピンクの矢印が重なっている部分が答えになります。

よって、この場合は、$\frac{8}{3}<x<4$

頭の中だけで計算しようとするとミスしやすいです。簡単でいいので、必ず数直線を書いて確認するようにしましょう。

(2) $3x-8=0$ のとき、つまり$x=\frac{8}{3}$ のとき

問題で与えられた数式において、

となり、数式がなりたたないので、不適。

(3) $3x-8<0$ のとき、つまり$x<\frac{8}{3}$ のとき

$
$$\begin{array}{rcll} -(3x-8)&>&4\\ -3x+8&<&4\\ -3x<-4\\ x>\frac{4}{3} \end{array}$$
$

この場合も図示します。

この場合、両方の範囲を満たすのは、$\frac{4}{3}<x<\frac{8}{3}$

よって、答えは、

$\frac{4}{3}<x<\frac{8}{3}$および$\frac{8}{3}<x<4$

定期テストで出る一次不等式の問題は、文章問題もあります。

一次不等式の文章問題では、ポイントは二つ。
① 求める値を$x$とおく。
② 「A以下にしたい」や「B以上C未満になるように」という箇所を不等式にする。

まず、ポイント①に従って、みかんを$x$ 個買うとします。

ポイント②に従うと、作る不等式は、（みかん$1$ 個の値段）$\text{≦} 25$ です。

$50$ 個を超えたみかんの値段は、$50$ 個を超えたみかんの数 $=x-50$となるので、$20\times(x-50)$ 円となります。

よって、

$$みかん1個の値段=\frac{みかんの総額}{みかんの総数}=\frac{1500+20\times(x-50)}{x}$$

これが、$25$ 円以下になるようにするには、

$\frac{1500+20\times(x-50)}{x}\text{≦}25$

計算自体は簡単なので、省略します。よって答えは、$100$ 個以上。

例題は以上です。

今回も、場合分けが重要ポイントです。図示して解くのが、ミスをしないコツです。繰り返し練習して、確実に解けるようにしておきましょう。

前回の記事「【数学IA】因数分解の計算の簡単な解き方（たすき掛けの方法も解説）」も合わせてお読みください。

HIMOKURI

2019.10.01

【数学IA】因数分解の難問も簡単に解ける計算のやり方（たすき掛けも解説）

https://wearewhatwerepeatedlydo.com/insubunkai

みなさん、こんにちは。今回は、数学IA【因数分解】について解説していきます。高１数学で勉強し始めたらおそらく最初につまづくのが因数分解の問題でしょう。 因数分解とは「足し算や引き算で表された数式を、二つ以上の単項式や多項式の掛け算のかたちにすること」と高１数学で習います。でも、文字で解説されてもちょっと...となりますよね。 そこで、今回は、因数分解とは何かを図解で説明した後、2乗の公式やたすき掛けとともに因数分解のやり方を解説します。そして、みなさんが因数分解の計算問題を簡単に解けるよう...

にほんブログ村

にほんブログ村