累乗根についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【累乗根】です。

 

累乗根ってルートのことでしょ?もう知ってるよ!
たなか君
たなか君

「累乗根についてわかりやすく解説」というタイトルを見て、たかしくんのように思った人もいるかもしれません。

累乗根とはルートのことという理解は的外れな間違いではありません。

しかし、これから勉強することになる指数関数では「累乗根=ルート」という理解では不十分です。指数関数をきちんとマスターするためにも、その土台となる累乗根について正しく理解しておきましょう。

というわけで、今回は累乗根について解説していきます。

さっそく始めていきましょう。

この記事を15分で読んでできること・累乗根とは何かがわかる

・累乗根の使い方がわかる

・自分で実際に累乗根をつかえる

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そもそも累乗根とは?

そもそも累乗根とはなんでしょうか?

 

答えは…

aの累乗根とは、aの2乗根(平方根)、3乗根、4乗根、…を総称したものです。

では、n乗根とは?という疑問が生まれますね。

aのn乗根とは、n乗してaになる数のことです。

 

a>0のとき、aのn乗根で正となるものがただ1つあり、それを$\sqrt[n]{a}$と表します。

これまで勉強してきた$\sqrt{a}$は$\sqrt[2]{a}$の2を省略したものです。

 

例をつかって考えてみましょう。

3乗して4になる数は、4の3乗根といい、正になるものがただ1つあります。

そして、それを$\sqrt[3]{4}$で表します。

 

なんとなくイメージがつかめてきたのではないでしょうか?

続いて、累乗根の性質について解説します。

累乗根の性質

累乗根の個数は、nが偶数か奇数かによって異なります。

 

(1)nが偶数のとき

a>0のとき、aのn乗根は正と負の2つあり、正のものを$\sqrt[n]{a}$、負のものを$-\sqrt[n]{a}$と表します。

例えば、a=16、n=4を考えると、16の4乗根$\sqrt[4]{16}$は2と-2の2つありますね。

 

なお、a<0のとき、実数の範囲にaのn乗根は存在しません。

 

(2)nが奇数のとき

aの累乗根はただ1つであり、ただ1つであり、$\sqrt[n]{a}$と表します。

例えば、a=8、n=3を考えてみましょう。

$2^{3}=8$ですが、$(-2)^{3}=-8$であり、8の3乗根$\sqrt[3]{8}$は2だけであることがわかります。

 

なお、a<0のとき、$\sqrt[n]{a}=-\sqrt[n]{-a}$と変形できます。

a=-8、n=3の場合、$\sqrt[3]{-8}=-\sqrt[3]{8}=-2$となります。

練習問題を解いてみよう

問題

①3乗すると29になる数を求めましょう。

②4乗すると65になる数を求めましょう。

③5乗すると-33になる数を求めましょう。

解答

①3乗すると29になる数を求めましょう。

3乗すると29になる数は、29の3乗根。

奇数乗根なので、29の3乗根はただ1つに決まる。

よって、$\sqrt[3]{29}$…(答)

 

②4乗すると65になる数を求めましょう。

4乗すると65になる数は、65の4乗根。

偶数乗根なので、64の4乗根は正負それぞれ1つずつ存在する。

よって、$\sqrt[4]{65}$, $-\sqrt[4]{65}$…(答)

 

③5乗すると-33になる数を求めましょう。

5乗すると-33になる数は、-33の5乗根。

奇数乗根なので、-33の5乗根は1つに定まる。

よって、$\sqrt[5]{-33}$

変形して、$-\sqrt[5]{33}$…(答)

今回のまとめ

今回は、累乗根について解説しました。

 

繰り返しになりますが、今回勉強した累乗根、前回勉強した指数法則は、指数関数において重要な基礎となります。不安なところが少しでもある人は、繰り返しこの記事を見て復習しましょう。

指数関数は、指数や累乗根の考え方をきちんと理解していれば、大きくつまづくことなくマスターできるでしょう。

 

今回もおつかれさまでした。

次回は、累乗根の基本的な性質についての解説です。

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コメント

  1. […] 累乗根とは、$n$乗して$a$になる数、すなわち$n$乗根の総称のことでした。(そもそも累乗根とは?について不安が残る人は、こちらの記事を先に確認しましょう。⇒「累乗根についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】) […]

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