【すべての実数とは?】15分で二次不等式が理解できる【受験に役立つ数学IA】

二次関数

みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【二次不等式】です。

二次不等式の問題を解いていたら、答えが「すべての実数」だった…。それってどういうこと?
たなかくん
たなかくん

 

答えが「すべての実数」なんて言われたら、びっくりしてしまいますよね。今回は、すべての実数とはどういうことだろうという疑問にお答えしていきます。

 

その前に、そもそも二次不等式とは?ということや、二次関数のグラフをつかった二次不等式の解き方も丁寧に解説しますので、安心してください。

 

二次不等式は、一見むずかしそうに見えますが、解き方のパターンさえ押さえてしまえば簡単に解くことができます。最終的には自分で二次不等式を解けるようになることを目標に、二次不等式とは?から始めていきましょう。

 

この記事を15分で読んでできること・二次不等式とは何かがわかる

・二次不等式の解き方がわかる

・自分で実際に二次不等式を解ける

 

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そもそも二次不等式とは?

二次不等式とは、$ax^{2}+bx+c\ge 0$(①)のような形で表される式です。

 

不等式とは、不等号を使って、「2つの数・式が等しくないこと」「2つの数・式の大小」を表す式でしたね。二次不等式も同様に、両辺の大小関係を示します。

 

「二次」とあるのは、$x$の次数が2であることを意味します。つまり、式①において$a≠0$が条件となります。

二次不等式の解き方

二次不等式を解くポイントは、$ax^{2}+bx+c\le 0$のように右辺を0にすることです。右辺を0にすることで、二次関数$ax^{2}+bx+c=0$のグラフをつかって、二次不等式を解くことができます。

 

例として、$x^{2}+x-2\le 0$を考えます。イメージをつかむために、グラフを見てみましょう。

$y=x^{2}+x-2$のグラフですね。問題は、$x^{2}+x-2$すなわち$y$が0以下となるときの$x$の範囲です。

グラフを見れば答えは一目瞭然。$-2\le x\le 0$と分かります。

答えが「すべての実数」ってどういうこと?

二次関数のグラフをつかえば、二次不等式はかんたんに解けることが分かりましたね。では、答えが「すべての実数」となるのは、どういうときでしょうか?

 

今回は、$x^{2}+2x+2\ge 0$を考えます。先ほど説明したとおり、まずは$y=x^{2}+2x+2$のグラフを書いてみましょう。

このグラフを見ると、$x^{2}+2x+2$はつねに0以上であることが分かりますね。つまり、$x$がどのような値であっても$x^{2}+2x+2\ge 0$は成り立つことになります。

 

このときに、答えが「すべての実数」となります。

 

反対に、$x$がどのような値であっても条件を満たさない場合もあります。そのときは、「解なし」が答えとなります。

二次不等式を解く2つのポイント

二次関数$ax^{2}+bx+c=0$のグラフをつかって、二次不等式を解くとお伝えしました。x軸とグラフの交点が分かれば、二次不等式を解くことができます。

 

では、x軸とグラフの交点はどうやって求めればよいでしょうか?

できるときは因数分解をしよう

x軸とグラフの交点を求める一番かんたんな方法は因数分解です。$ax^{2}+bx+c=0$を$a\left(x-p\right)\left(x-q\right)=0$と因数分解できたら、交点のx座標がpとqだとかんたんに求めることができます。

 

因数分解ができるときは因数分解をすることで、問題を解くスピードアップにつながります。見落とさないように注意しましょう。

 

では、因数分解できないときはどうすればよいのでしょうか?

判別式でx軸とグラフの交点があるか確かめよう

因数分解できないときは、判別式をつかってx軸とグラフの交点があるかどうかを確かめます。

 

二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の判別式とは、$D=b^{2}-4ac$でしたね。

 

$D\ge 0$のときは交点があるので、解の公式を使って交点を求めましょう。

 

一方、$D\lt 0$のときは交点がありません。このとき、解答は「すべての実数」または「解なし」となります。かんたんなグラフを書いて、どちらかを判断するようにしましょう。

練習問題を解いてみよう

問題

次の二次不等式を解いてみよう。

①$2x^{2}-12x+16\le 0$

②$3x^{2}+18x+28\ge 0$

③$2x^{2}-8x+12\le 0$

解答と解説

①について

$2x^{2}-12x+16$

$=2\left(x^{2}-6x+8\right)$

$=2\left(x-2\right)\left(x-4\right)$

$2\left(x-2\right)\left(x-4\right)\le 0$を解くと

$2\le x\le 4$

 

②について

$3x^{2}+18x+28$は因数分解できないので、判別式をつかいます。

$D=18^{2}-4\times 3\times 28=324-336=-12$

$D\lt 0$なので、「すべての実数」または「解なし」となります。

$y=3x^{2}+18x+28$のグラフは下に凸なので、xの値にかかわらず、$3x^{2}+18x+28$は正の値となります。

よって、

すべての実数

 

③について 

$2x^{2}-8x+12$は因数分解できないので、判別式をつかいます。

$D=8^{2}-4\times 2\times 12=64-96=-32$

$D\lt 0$なので、「すべての実数」または「解なし」となります。

$y=2x^{2}-8x+12$のグラフは下に凸なので、xの値にかかわらず、$2x^{2}-8x+12$は正の値となります。

 

よって、

解なし

 

今回のまとめ

二次不等式は、二次関数のグラフを書くとかんたんに解くことができます。「因数分解ができるか」「判別式が正か負か」の2つだけを確認すればOKです。

 

さまざまな分野に応用される二次不等式。この機会にたくさん練習してマスターしましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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