共分散の求め方とは!?共分散の公式

みなさん、こんにちは。今回のテーマはデータ分析の【共分散】とその求め方について解説します。

たなか君

データ分析って式が複雑わからない

データ分析がむずかしそうというイメージを持っているみなさんに向け、共分散をやさしく解説していきます。データ分析は、あまりなじみがないため、はじめは難しいですが、慣れてしまえばかんたんに解くことができます。

この記事では、まず共分散とは何かを説明し、共分散の公式と求め方を確認します。共分散は相関係数を求める際にも必要になるので、しっかりと覚えるようにしましょう。

共分散とは？

共分散とは、2つの変数の偏差の積の平均です。2変数の関係の強さを表す「相関係数」を求めるときに、共分散が必要になります。

これだけ聞いても、よくわからないですよね。式を確認してみましょう。

共分散の公式

共分散の公式は下のとおりです。

たなか君

記号が多すぎてまったく分からない…

たしかに公式をみると、見慣れない文字ばかりで、よけいにむずかしく見えるかもしれませんね。それでは、1つずつ確認していきましょう。

なんとなくイメージはつかめてきましたか？次は、実際にデータをつかって、共分散を求める練習をしてみましょう。

共分散の求め方

例題で共分散の求め方を確認しましょう。

公式は

$$S_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$$

でしたね。

まずは、xとyそれぞれの平均を求めましょう。

$\bar{x}=\frac{1}{5}\left(5+3+4+2+6\right)=\frac{1}{5}\times 20=4$

$\bar{y}=\frac{1}{5}\left(7+1+4+3+5\right)=\frac{1}{5}\times 20=4$

計算に必要になるのが、$x_i-\bar{x}$（xの偏差）と$y_i-\bar{y}$（yの偏差）の積です。次のような表をつくるのがおすすめです。

$\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$がわかったので、共分散の公式に代入しましょう。

$S_{xy}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$

$=\frac{1}{5}\left(3+3+0+2+2\right)$

$=\frac{1}{5}\times 10=2$

よって、xとyの共分散$S_xy=2$と求められました。

共分散の求め方、理解できましたか？さっそく練習問題を解いて、理解を定着させましょう。

問題を解いてみよう

問題

次のデータにおける、xとyの共分散を求めましょう。

解答

$\bar{x}=\frac{1}{5}\left(2+3+6+2+2\right)=\frac{1}{5}\times 15=3$

$\bar{y}=\frac{1}{5}\left(4+3+2+1+5\right)=\frac{1}{5}\times 15=3$

$\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$は以下の表のとおり。

これを$S_{xy}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$に代入すると

$S_{xy}=\frac{1}{5}\left(-1+0-3+2-2\right)=\frac{1}{5}\times \left(-4\right)=-0.8$

今回のまとめ

今回は、共分散について解説しました。

はじめに述べたとおり、共分散は相関係数を求めるうえで必須の要素です。センター試験でも出題されるので、しっかりと押さえておきましょう。

今回もおつかれさまでした。