【データ分析】共分散とは!?共分散の公式を使って共分散の解き方を【受験に役立つ数学IA】

データ分析
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みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【共分散】です。

 

たかしくん
たかしくん

データ分析って式が複雑で難しそう…

今回はたかしくんのように、データ分析がむずかしそうというイメージを持っているみなさんに向け、共分散をやさしく解説していきます。データ分析は、あまりなじみがないため、はじめは難しいですが、慣れてしまえばかんたんに解くことができます。

 

この記事では、まず共分散とは何かを説明し、共分散の公式と求め方を確認します。共分散は相関係数を求める際にも必要になるので、しっかりと覚えるようにしましょう。

 

この記事を15分で読んでできること・共分散とは何かがわかる

・共分散の求め方がわかる

・自分で実際に共分散を求められる

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共分散とは?

共分散とは、2つの変数の偏差の積の平均です。2変数の関係の強さを表す「相関係数」を求めるときに、共分散が必要になります。

 

これだけ聞いても、よくわからないですよね。式を確認してみましょう。

共分散の公式

共分散の公式は下のとおりです。

共分散の公式

$$S_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$$

 

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たかし君

 

記号が多すぎてまったく分からない…

 

たしかに公式をみると、見慣れない文字ばかりで、よけいにむずかしく見えるかもしれませんね。それでは、1つずつ確認していきましょう。

 

$S_{xy}$:xとyの共分散

$\sum_{i=1}^{n}$:右の式の$i$に1からnまで代入して、それをすべて足した値
          ※$\sum_{i=1}^{5}k$だと、1+2+3+4+5になります

$x_i$:変数$x$の$i$番目の値

$\bar{x}$:変数$x$の平均

 

なんとなくイメージはつかめてきましたか?次は、実際にデータをつかって、共分散を求める練習をしてみましょう。

共分散の求め方

例題で共分散の求め方を確認しましょう。

例題
x53426
y71435

上のようなデータがあるとします。xとyの共分散を求めましょう。

 

公式は

$$S_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$$

でしたね。

 

まずは、xとyそれぞれの平均を求めましょう。

$\bar{x}=\frac{1}{5}\left(5+3+4+2+6\right)=\frac{1}{5}\times 20=4$

$\bar{y}=\frac{1}{5}\left(7+1+4+3+5\right)=\frac{1}{5}\times 20=4$

 

計算に必要になるのが、$x_i-\bar{x}$(xの偏差)と$y_i-\bar{y}$(yの偏差)の積です。次のような表をつくるのがおすすめです。

$x_i-\bar{x}$1-10-22
$y_i-\bar{y}$3-30-11
$\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$33022

 

$\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$がわかったので、共分散の公式に代入しましょう。

 

$S_{xy}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$

$=\frac{1}{5}\left(3+3+0+2+2\right)$

$=\frac{1}{5}\times 10=2$

 

よって、xとyの共分散$S_xy=2$と求められました。

 

共分散の求め方、理解できましたか?さっそく練習問題を解いて、理解を定着させましょう。

問題を解いてみよう

問題

次のデータにおける、xとyの共分散を求めましょう。

x23622
y43215

解答

$\bar{x}=\frac{1}{5}\left(2+3+6+2+2\right)=\frac{1}{5}\times 15=3$

$\bar{y}=\frac{1}{5}\left(4+3+2+1+5\right)=\frac{1}{5}\times 15=3$

$\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$は以下の表のとおり。

$x_i-\bar{x}$-103-1-1
$y_i-\bar{y}$10-1-22
$\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$-10-32-2

これを$S_{xy}=\frac{1}{5}\sum_{i=1}^{5}\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)$に代入すると

$S_{xy}=\frac{1}{5}\left(-1+0-3+2-2\right)=\frac{1}{5}\times \left(-4\right)=-0.8$

今回のまとめ

今回は、共分散について解説しました。

 

はじめに述べたとおり、共分散は相関係数を求めるうえで必須の要素です。センター試験でも出題されるので、しっかりと押さえておきましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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