たった15分で実数解の個数が求められるようになる【受験に役立つ数学IA】

みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【実数解の個数】です。

たかしくん

二次方程式が実数解を持つってどういうこと？そもそも実数ってなに？

今回は、たかしくんの実数解の個数に関する悩みを解決していきます。最終的には判別式をつかって二次関数が実数解をいくつ持っているかを求められるようになりたいのですが、まずは実数とは何かということから丁寧に解説していきます。

それでは、さっそく始めていきましょう。

そもそも実数って何？

これまで分数、自然数、有理数、無理数など、多くの○数を学んできましたね。では実数とは何なのかと言うと、「存在するすべての数」のことです。

つまり、$-3$も$\frac{3}{4}$も$\sqrt{2}$も、すべて実数にふくまれます。

ここで、実数でない数はあるの？という疑問が浮かんだ人もいるでしょう。ややこしいですが、実数でない数、すなわち存在しない数も計算上では存在します。

たとえば、$\sqrt{-5}$という数。2乗すると-5になる数は実際には存在しませんが、計算のなかで使う場合もあります。想像上の数といえば分かりやすいでしょうか。

二次方程式の実数解の個数を求めよう

実数とは何かが分かったところで、さっそく二次方程式の個数を求めていきましょう。

結論から言うと、二次方程式の実数解の個数は次のように求められます。

「どこから$D=b^{2}-4ac$が出てきたの？？」と不思議に思う人も多いでしょう。しかし、よくよく考えてみると、$b^{2}-4ac$に見覚えはないでしょうか…？

実は、$b^{2}-4ac$は二次方程式の解の公式で出てきています。

解の公式とは、二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の解は

$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

で表せるというものでしたね。

つまり、二次方程式の実数解の個数を求めるということは、$\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$が実数かどうかを調べるということです。

では、$\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$が実数かどうかを考えましょう。

a, b, cはいずれも実数なので、$\sqrt{b^{2}-4ac}$が実数であれば、全体も実数となります。$\sqrt{A}$が実数となるのは、$A\ge 0$のときですね。すなわち、$b^{2}-4ac\ge 0$のときに$\sqrt{b^{2}-4ac}$は実数となります。

$b^{2}-4ac\ge 0$のとき、$\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$は実数解をもつことが分かりました。

ここで注意しておきたいのが、$b^{2}-4ac=0$のときです。このとき、

$\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-b}{2a}$

となり、解は１つ（重解）となります。

あらためて、二次方程式の実数解の個数についてまとめます。個数を求めるカギとなる$D=b^{2}-4ac$は判別式と言われています。覚えておきましょう。

練習問題を解いてみよう

二次方程式の実数解の個数の求め方は理解できましたか？実際に練習問題を解いて、理解を定着させましょう。

問題

次の二次方程式の実数解の個数を求めましょう。

①$x^{2}-x-2=0$

②$3x^{2}+6x+3=0$

③$2x^{2}+2x+3=0$

解答

①$D=\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times \left(-2\right)$

$=1+8=9$

$D\gt 0$なので、$x^{2}-x-2=0$は異なる２つの実数解をもちます。

②$D=6^{2}-4\times 3\times 3$

$=36-36=0$

$D=0$なので、$3x^{2}+6x+3=0$は１つの実数解をもちます。

③$D=2^{2}-4\times 2\times 3$

$=4-24=-20$

$D\lt 0$なので、$2x^{2}+2x+3=0$は実数解をもちません。

今回のまとめ

今回は、二次不等式の実数解の個数について解説しました。

判別式をつかった実数解の個数の求め方は、「$2x^{2}+5x+c=0$が実数解をもつcの範囲を求める」といった問題にも応用できます。練習問題を繰り返し解いて、判別式に慣れておきましょう。

今回もお疲れ様でした。