指数が分数の指数法則を使いこなす【数学IA】

数と式

みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【指数関数】です。

 

たなかくん
たなかくん
指数が分数ってどういうこと??どうやって計算すればいいの?

 

今回は、こういった疑問に答えます。まずは、これまでに習った指数法則とはどんな公式だったかを復習します。

 

そして、今回のメイントピックである指数法則のうち指数が分数のものについて解説します。さらに今回は、指数が分数の指数法則の証明も行います。

 

今回の内容ももりだくさんですよ。さっそく、始めていきましょう。

この記事を読んでできること・指数法則とは何かがわかる

・指数が分数のときの指数法則がわかる

・指数が分数の指数法則の証明がわかる

・自分で実際に指数法則を使いこなせる

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そもそも指数法則とは?

指数法則とは、かんたんに言うと、「指数の決まりごと」のことです。

 

この指数法則は、計算において基本中の基本となります。「$1+1=2$」くらい重要だと思って、しっかりと覚えましょう。

 

もっとも基本の指数法則の公式は次の2つです。これらをしっかりと押さえておけば、指数法則の公式は理解できるでしょう。

 

$$a^{0}=1$$

 

$$a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}$$

ここから先に進む前に、この2つはなんとしても暗記しておきましょう。

指数法則の公式とは?

指数が整数の指数法則を5つ確認しましょう。

 

  • $$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$$
  • $$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$$
  • $$\left(ab\right)^{n}=a^{n}\times b^{n}$$
  • $$\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$$
  • $$\left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$$

 

これも基本的な指数法則の公式になります。練習問題を解いてきちんと理解できているか確認してみましょう。

【問題】

①$a^{3}\times a^{2}$

②$\left(a^{2}\right)^{4}$

③$\left(ab\right)^{3}$

④$\frac{a^{6}}{a^{4}}$

⑤$\left(\frac{a}{b}\right)^{7}$

【ヒント】

それぞれ先ほど確認した指数法則の公式に対応しているので、分からない問題は公式を確認しながら解いてみましょう。

①$a^{5}$
②$a^{8}$
③$a^{3}b^{3}$
④$a^{2}$
⑤$\frac{a^{7}}{b^{7}}$
②$a^{8}$テキスト
③$a^{3}b^{3}$テキスト④$a^{2}$テ⑤$\frac{a^{7}}{b^{7}}$テキスト

指数が分数の指数法則とは?

さぁ、ここからが本題です。ここまでは指数が整数でしたが、指数が分数になったらどのように計算すればよいのでしょうか?

 

指数が分数の指数法則の公式は、$a^{\frac{q}{p}}=\left(\sqrt[p]{a}\right)^{q}$です。

 

少しむずかしいですね。例を見ていきましょう。

$16^{\frac{3}{4}}$を計算してみます。

公式にならうと、$16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}$となりますね。

$16=2^{4}$より$\sqrt[4]{16}=2$なので、$\left(\sqrt[4]{16}\right)^{3}=2^{3}=8$と表せます。

意外とかんたんですね。

解き方は分かった、でもなぜそうなるのか分からない…という人も多いでしょう。次で指数が分数の指数法則の証明をしますよ。

指数が分数の指数法則を証明しよう

$a^{\frac{q}{p}}=\left(\sqrt[p]{a}\right)^{q}$を証明していきましょう。

証明のために、まずは$a^{p}=○=△$の形を目指します。

$$a^{p}=a^{\left(\frac{p}{q}\right)\times q}$$

        $$=\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{q}$$

$a^{\left(\frac{p}{q}\right)\times q}$を$\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{q}$としたのには、指数法則$a^{mn}=\left(a^{m}\right)^{n}$が用いられています。

〇にあてはまる式ができたので、今度は△を考えます。

$$a^{p}=\left\{\left(\sqrt[q]{a}\right)^{p}\right\}^q$$

q乗根のq乗は当然1になりますよね。

これで目指していた$a^{p}=〇=△$の式ができました。

$$a^{p}=\left(a^{\frac{p}{q}}\right)^{q}=\left\{\left(\sqrt[q]{a}\right)^{p}\right\}^q$$

$a$、$p$、$q$がすべて正であるとすると、$a^{\frac{q}{p}}=\left(\sqrt[p]{a}\right)^{q}$が成り立ちます。これで証明完了です。

問題を解いてみよう!

【問題】

①$16^{\frac{1}{4}}$

②$25^{\frac{3}{2}}$

③$27^{\frac{2}{3}}$

【解答】

①$2$

②$125$

③$9$

①$2$テキスト
②$125$テキスト
③$9$テキスト

今回のまとめ

今回は、指数法則について解説しました。はじめに述べたように、指数法則は計算において基本中の基本となる法則です。

より詳しい内容については「おもしろいほどよくわかる高校数学 関数編 2次方程式、指数・対数・三角関数がスラスラ解ける! (サイエンス・アイ新書)」がおすすめです。

 

はじめはむずかしく思えるかもしれませんが、慣れてしまえばかんたんに解くことができますよ。練習問題をたくさん解いて、完璧にマスターしておきましょう。

今回もお疲れ様でした。

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