みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【判別式】です。
たかしくんのように、判別式という言葉は聞いたことがあっても、意味は分からない人もいるでしょう。今回は判別式dとはそもそも何かを理解した上で、判別式の公式を説明しつつ、二次不等式や二次方程式を判別式で解いていきます。
また、判別式は$\frac{D}{4}$にしても良いのか、判別式一般についても解説をしていきます。
今回の目標は「判別式を使いこなせるようになること」です。まずは「判別式とは？」という基本から勉強していきましょう。
・判別式の使い方がわかる
・自分で実際に判別式を使いこなせる
そもそも判別式(D)とは？
そもそも判別式とは、「二次多項式$ax^{2}+bx+c$に対して、$b^{2}-4ac$」のことです。
よく二次方程式の判別式と言われますが、それは二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の左辺の判別式のことです。
計算の中では、判別式はDで表されることが多いです。これは判別式という意味のdiscriminantの頭文字です。
二次方程式の判別式で何が分かる？
判別式$b^{2}-4ac$、どこかで見覚えがありませんか…？
正解は…
$x=\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の解の公式の√ の中です。
解の公式で、√ の中が0以上のときは二次方程式は実数解をもち、0より小さいときは実数解をもたないのでしたね。覚えていましたか？
つまり、判別式の符号で二次方程式の解の個数が分かるのです。
$D\gt 0$のとき 異なる2つの実数解をもつ
$D=0$のとき 1つの実数解（重解）をもつ
$D\lt 0$のとき 実数解をもたない
判別式は$\frac{D}{4}$にしてもいい？
判別式の応用として、$\frac{D}{4}$を教わった人も多いはず。では、判別式は$\frac{D}{4}$にしてもいいのでしょうか？
この問いの答えは…「いいときもある」です。それはずばり「$ax^{2}+bx+c$の$b$が偶数のとき」です。
多くの場合、判別式は値でなく「符号」のみが分かれば十分です。計算をかんたんにするためにも、$ax^{2}+bx+c$の$b$が偶数のときは判別式を4で割り、$\frac{D}{4}$として計算しましょう。
判別式$\frac{D}{4}$の公式を確認しよう
先ほど説明したとおり、$\frac{D}{4}$とできるのはbが偶数のときなので、b=2b’とします。
$ax^{2}+bx+c=ax^{2}+2b’+c$の判別式Dは$D=4b'{2}-4ac$。知りたいのは、$D=4b'{2}-4ac$の符号です。4で割っても符号は変わらないため、両辺を4で割ります。よって、次の式が判別式$\frac{D}{4}$の公式となります。
$\frac{D}{4}=b'{2}-ac$
判別式をつかって二次方程式の解の個数を求めよう
判別式を使った問題
①$x^{2}+3x-4=0$
②$x^{2}-6x+9=0$
③$x^{2}+4x+6=0$
問題の解答と解説
①$x^{2}+3x-4=0$の判別式をDとすると
$D=3^{2}-4\times \left(-4\right)$
$=9+16=25\gt 0$
よって
②$x^{2}-6x+9=0$の判別式をDとすると
$\frac{D}{4}=3^{2}-9=9-9=0$
よって、
③$x^{2}+4x+6=0$の判別式をDとすると
$\frac{D}{4}=2^{2}-6=4-6=-2\lt 0$
よって、
二次不等式における判別式の使い方
判別式は二次方程式だけでなく、二次不等式でも役に立ちます。
①因数分解ができたら因数分解をする
②因数分解ができなければ、判別式で$ax^{2}+bx+c=0$に解があるか確かめる
③解があれば、解の公式で解を求める
二次不等式の解き方は上のとおりでしたね。くわしくは「二次不等式の解き方を理解する（グラフと因数分解）【数学IA】」で解説しているので、ぜひ確認してみてください。
今回のまとめ
今回は、判別式について解説しました。
二次方程式・二次不等式の問題を解くときに、判別式は非常に重要になります。グラフのおおまかな形をかんたんに把握するためにも、判別式はしっかりと覚えておきましょう。
二次関数については基本的な理解をしたければ「高校入試 中学数学が面白いほどわかる本」がおすすめです。高校の内容をやる前にそもそも理解が難しければ高校入試用の本で基本理解をしていきましょう。
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