集合と論理の公式を解説して基本問題を解く【数学1A】

集合と論理

みなさん、今日は数学IAの「集合と論理」を勉強します。集合と論理の分野の問題はどの大学の入試問題でも必ずと言って良いほど出ます。特に難関系大学の入試にはよく出ます。SPI試験でも見かけます。

 

なぜ、数学では集合と論理の問題を出すのでしょうか?その理由は、集合と論理が数学の基礎で他の問題を解くのに利用したりするためです。実社会でもベン図を使って解説したり、情報の演算でのシステムの基本で使われたりします。また、受験でも共通テストで幾何分野で出題されたりするので、集合と論理が出題されやすい現状です。

 

集合と論理の問題を解くのに大事なのが、記号です。今回、集合と論理について、集合と論理の問題を解く方法についてまとめました。

 

また、集合と論理の問題を解くのに参考になる参考書についてもまとめました。ちなみに前回、数学1Aの攻略】場合の数を解説!公式を使って問題を解いてみようにて、場合の数を解説しているので、よければこちらも読んでください。

【数学1A】場合の数を解説!公式を使って入試問題を解いてみよう
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ことです。つまり、1つずつ数えていけば答えにたどり着くことができます。
今回の記事のポイント・集合と論理がどのようなものかわかる
・集合と論理で利用される記号がわかる
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そもそも集合と論理とは

そもそも、集合とは、ある同じ条件の物の集まりの事を言います。例えば野菜や果物、細かい種類は色々ありますが、野菜という全体の事を集合と言います。集合の一つ一つの物を元(要素)と呼びます。

 

例えば、集合を「野菜」とすれば、元(要素)はキャベツ、レタスとなります。

集合や要素でアルファベットを使う場合、集合なら大文字を使って集合 A、要素なら小文字を使って要素 a と表します。

 

  • 集合:A,B,C,X,Y,Z
  • 元(要素)a,b,c,x,y,z

 

という形です。まずは、理解しましょう。

集合の種類

それでは、まずは集合の種類について勉強していきましょう。

 

集合の種類については、「空集合」「全体集合」「部分集合」があります。しっかりと覚えていきましょう。

空集合とは 

空集合とは、中身がない集合の事で、つまり中身はゼロの集合の条件を満たす物がない事を表します。要素がない集合なのでどの集合にも入る事が出来ます「何も含まない集まり」「何も集めていない集まり」というのが空集合です。

全体集合とは 

全体集合とは、考えている対象全体の集合のことです。

 

集合の問題を解く時や要素を考える時の基本的な考え方となります。全体集合を表す時にはUを使用します。

部分集合 

2つの集合体がある時に片方の要素が、片方の要素、全て含まれている時に部分集合と言います。包含関係にあると言う事もあります。

 

イメージとしては下図ですね。

集合の記号

それでは、各々の記号について述べていきます。

 

a∈A 要素の表し方 

要素を表す記号は∈でして、aがAという集合体の要素の時、a∈Aを使用します。キャベツ、レタスが野菜の要素であるということを表すには、キャベツ、レタス∈野菜と表すことができます。覚え方としては要素のヨウソのヨを逆の字にするという形で覚えましょう。

A⊂B 部分集合の表し方

2つの集合体がある時、Aの集合体にBの集合体の要素全てが含まれている時、部分集合と言い⊂を使用します。

 

もう一度先ほどの図を持ってきます。例えばAの要素1,2(1,2∈A)、Bの要素1,2,3(1,2,3∈B)のとき、1と2の要素は被っているので、部分集合と言えます。A⊂Bと表します。

 

部分集合は、一方が他方を含む(contain)しているので、Cぽい形として理解していきましょう

A∩C 共通部分の表し方

2つの集合体がある時、両方にある要素全体の事を共通部分と言い、∩を使用します。例えば、Aの要素が1と3で、Bの要素が1と2の場合、1が共通部分となるわけですね。

 

∩の記号は英語で帽子を表していて帽子=被る、覆う部分という意味と覚えると良いです。又は、「つ」というので、「か」の左側の部分に似ていると考えてもいいです。

A∪C 和集合の表し方

2つの集合体がある時、最低1つの集合体に含まれる要素全体の事を和集合と言います。使用する記号は、∪です。AとBの要素全てを含む形です。全体集合のuとは違うので注意しましょう!!

Φ 空集合の表し方

どの集合体の要素も持たない集合体の事を空集合と言います。使用する記号はΦ(ファイ)です。ちなみに、空集合はすべての集合の部分集合になります

 

補集合 

集合Aがある場合、全体集合に含まれる要素でAには属さない物を補集合と言います。表し方はアルファベットの上に棒を引きます。「Ā」と表します。例えば、U(全体集合)=1,2,3で集合A=1,2の時、Ā=3になります。

問題演習

では、今までの知識を整理するために自分で問題を解いてみましょう。

 

全体集合U(1.3.4.5.6.7.9.0)の場合、集合体A=(1、3、9、0)集合体B(5、6、9、0)の場合、次の集合体はどうなるでしょうか?

(1) A∩B (2) A∪B (3) Ā

 

集合体を解くのに、一番大事な事は図を描く事です。図を書き、数字を書けば簡単に問題を解く事が出来ます。

 

解答を見ましょう。

9、0 共通部分なので両方にある要素となります。

 

トグルボックス内容
4、5、6、7 Aの補集合なのでAではない物を選択します。

 

おすすめの参考書

いかがだったでしょうか。次におすすめの参考書です。

 

おすすめするのは、「例題で学ぶ集合と論理」です。数学の基礎である集合と論理について初心者レベルから順を追って学べます。

 

最初は、高校で勉強する内容の前の段階から書かれています。例や例題が多く描かれているので分かりやすく学ぶ事が出来てレベル別の演習問題もたくさんあり解きながら学べる参考書です。

次におすすめなのは、「2度解く!!数と式・集合と論理―短期完成 (大学入試過去問シリーズ 数学 1)」です。集合と論理の過去の入試問題を解くのに最適な参考書で、同じ問題を2度解く事で理解力が付くように作られています。

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