二次関数の最大値最小値など二次関数を解説（問題演習つき）【数学IA】

今回のテーマは【二次関数】です。

たなかくん

原点を通らない二次関数！？どうやって最大値最小値を求めたらいいの？

そもそも二次関数の公式って？

二次関数の公式は$y=ax^{2}+bx+c$です。

xにある値を代入したときに、yの値が１つに決まるとき、yはxの関数であるといいます。

文字がaとbとcもあるのに１つに決まるの？

たなかくん

aとbとcは定数といって、3や-1などの決まった数が入るので、それによってyの値が変わることはありません。

また、今回はxの指数が２なので、「二次」関数といいます。

二次関数の公式と聞いたとき、中学校で習った$y=x^{2}$を思い浮かべた人も多いかもしれません。これは$y=ax^{2}+bx+c$において、$a=1$、$b=0$、$c=0$のときの式ですね。

二次関数のグラフの書き方とは？

一次関数では「傾き」と「切片」が分かれば、グラフを書くことができますよね。

では、二次関数のグラフを書くためには何が分かればよいでしょうか。

ずばり、「グラフの形」と「頂点」です。

二次関数$y=ax^{2}+bx+c$のグラフは、$y=ax^{2}$を平行移動したものなので、aが「グラフの形」を示しています。

「グラフの形」が分かれば、あとは「頂点」を定めればグラフを書くことができますね。

二次関数のグラフの頂点とは？

$y=\left(x-2\right)^{2}+3$の頂点は…、(2, 3)です。

a>0のとき、頂点でyの値が最小となりますよね。yが最小となるのは、$\left(x-2\right)^{2}$が０となるとき、すなわち$x=2$のときです。このときのyの値を求めると3になります。意外とかんたんですよね。

ここで、文字にしてまとめておくと、「二次関数$y=a\left(x-p\right)+q$の頂点は(p, q)である」となります。

二次関数のグラフの頂点を求めるには？

二次関数のグラフの頂点は、平方完成をすれば求められます。

平方完成とは、二次関数の公式$y=ax^{2}+bx+c$を$y=a\left(x-p\right)^{2}+q$の形にすることです。

ここはとても重要なので、$y=2x^{2}-4x+7$を例に考えてみましょう。

①xが含まれる項を2でくくります。

$y=2\left(x^{2}-2x\right)+7$

②$\left(x^{2}-2x\right)$の部分を$\left(x-p\right)^{2}$を使って表します。

$\left(x-p\right)^{2}=x^{2}-2px+p^{2}$なので、$\left(x^{2}-2x\right)=\left(x-1\right)^{2}-1$と変形できます。

$y=2\left\{\left(x-1\right)^{2}-1\right\}+7$

③式を整理すると…

$y=2\left(x-1\right)^{2}+5$

よって、二次関数$y=2x^{2}-4x+7$の頂点は(1, 5)であると分かります。

ここまでくるともう安心ですね。$y=2x^{2}$のグラフをx軸方向に１、y軸方向に５平行移動したグラフ（頂点を(0, 0)から(1, 5)にしたグラフ）が$y=2x^{2}-4x+7$のグラフになります。

二次関数の最大値最小値の求め方とは？

みなさんはもう、二次関数のグラフが書けるようになりましたね。あとはかんたん、与えられた範囲の中の最大値最小値をグラフを見て考えるだけです。

今回は、$y=2x^{2}-2x+\frac{9}{2}$の$1\leqq x\leqq 4$の最大値最小値を考えてみましょう。

まずは、先ほど勉強した平方完成を行います。

$y=2\left(x^{2}-x\right)+\frac{9}{2}$

$=2\left\{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}\right\}+\frac{9}{2}$

$=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}+\frac{9}{2}$

$=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+4$

よって、頂点が(1/2, 4)であると分かり、二次関数$y=2x^{2}-2x+\frac{9}{2}$のグラフが書けますね。ここでは、グラフを示すことはしないので、自分でノートに書いてみてくださいね。

二次関数のグラフ$y=2x^{2}-2x+\frac{9}{2}$は下に凸の放物線なので、yが最小となるのは$x=\frac{1}{2}$のときで$y=4$です。ただし、最初の条件で$1\leqq x\leqq 4$なのでx=１、$y=\frac{9}{2}$が最小値になります。

Bさん

最初の条件とか見落としやすいので注意ね。

では、最大値はどうでしょうか…？

グラフを書けば一目瞭然。軸$x=\frac{1}{2}$から遠い$x=4$で最大となります。

このとき$y=\frac{57}{2}$なので、この二次関数の最大値最小値は、最大値$\frac{57}{2}$（$x=4）$、最小値$\frac{9}{2}$（x=1）となります。

場合分けが必要な二次関数の最大値最小値の求め方とは？

ここまではグラフさえ書ければかんたんに求めることができましたが、ここからは少し難しいですよ。とはいっても、グラフが書けていれば9割はできたも同然なので、安心してください。

ここでは、二次関数$y=x^{2}-2ax+a^{2}+1$の$0\le x\le 3$における最大値最小値を考えます。

これまでの式と違うのは、aというなぞの文字が入っていることですね。これは定数なので変化することはありませんが、aの値が分からないとこの二次関数の最大値最小値を求めることはできません。

解くことができるの？と不安かもしれませんが、とりあえず先ほど同様に平方完成してみましょう。

$$y=x^{2}-2ax+a^{2}+1$$

  $$=\left(x-a\right)^{2}+1$$

つまり、この二次関数のグラフは、頂点(a, 1)で下に凸の放物線になります。ここまで分かれば、最大値最小値を求められそうですね。

さぁ、この二次関数の最大値最小値を求めていきますよ。みなさん、ノートの準備は大丈夫ですか？

まずは最大値。グラフが下に凸なので、yはxがaから遠いほど大きな値をとります。

よって、最大値は次のようになります。

①$a\lt \frac{3}{2}$のとき　$a^{2}-6a+10$（$x=3$）

②$a=\frac{3}{2}$のとき　$\frac{13}{4}$（$x=0, 3$）

③$\frac{3}{2}\lt a$のとき　$a^{2}+1$（$x=0$）

次に最小値を考えましょう。定義域$0\le x\le 3$に頂点が含まれていると、もちろん頂点で最小値をとります。

他の場合を考えてみると、定義域の左に頂点がある場合、定義域の右に頂点がある場合の２つに分類できます。

よって、最小値は次のようになります。

①$a\lt 0$のとき　$a^{2}+1$（$x=0$）

②$0\le a\le 3$のとき　$１$（$x=a$）

③$3\lt a$のとき　$a^{2}-6a+10$（$x=3$）

二次関数の最大値最小値の求め方、理解できたでしょうか？

練習問題で確認してみましょう。

問題を解いてみよう！

【問題】

①$y=3x^{2}-6x+9$の頂点の座標を求めよ。

②$y=2x^{2}+4x-4$の$-3\le x\le 0$における最大値最小値を求めよ。

③$y=x^{2}-2ax+a^{2}+a+1$の$-1\le x\le 1$における最小値を求めよ。

【解答】

今回のまとめ

今回は、二次関数について説明しました。二次関数の最大値最小値を求める問題は、入試でも頻出です。二次関数のグラフの書き方さえ押さえればかんたんに解くことができるため、まずはグラフを書く習慣をつけましょう。

なお、二次関数についてよりしっかりと勉強したければ「改訂版 坂田アキラの 2次関数が面白いほどわかる本 (坂田アキラの理系シリーズ)」がおすすめです。HIMOKURIでも十分ですが、こちらは演習量もあり解説がかなり丁寧なので手にとってみるといいでしょう。

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