解と係数の関係についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

方程式・不等式

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【解と係数の関係】です。

 

たなか君
たなか君
解と係数の関係を覚えれば二次方程式の問題がかんたんに解けるんだね

 

たかしくんと同じように、「解と係数の関係を覚えれば二次方程式の問題がかんたんに解ける」と先生から聞いたけど信じられない…という人もいることでしょう。

 

しかし、実は本当のことなのです。

 

解と係数の関係を使えば、二次方程式の解が分数のときに面倒な計算をすることなく、問題を解くことができます。

 

というわけで今回は、解と係数の関係についてわかりやすく解説していきます。

 

まずは、解と係数の関係を表す式を確認していきましょう。

 

この記事を15分で読んでできること・解と係数の関係とは何かがわかる

・解と係数の関係の使い方がわかる

・自分で実際に解と係数の関係が使える

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そもそも解と係数の関係とは?

そもそも解と係数の関係とは、二次方程式$ax^{2}+bx+c=0$の2つの解$x=α, β$と係数a, b, cの関係のことです。

 

解$x=α, β$と係数a, b, cの関係は次の式で表せます。

 

解と係数の関係

$α+β=-\frac{b}{a}$

$αβ=\frac{c}{a}$

 

今回覚えるのは、たったこれだけ!

 

$α+β$の右辺にはマイナスが付くことを忘れないように気を付けましょう。

 

本当にこれが成り立つのか、解の公式を使って確かめてみましょう。

 

(解の公式については、この記事がわかりやすく解説しています【数学ⅠA】二次方程式とは?二次方程式の計算問題を公式を使って解く!)

【数学IA】二次方程式とは?二次方程式の計算問題を公式を使って解く!
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解の公式より、

 

$α=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$、$β=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$α+β=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

 

$αβ=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\times \frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\frac{\left(-b\right)^{2}-\left(\sqrt{b^{2}-4ac}\right)^{2}}{4a^{2}}$

$=\frac{b^{2}-b^{2}+4ac}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$

 

$α+β=-\frac{b}{a}$、$αβ=\frac{c}{a}$が成り立つことがわかりましたね。

それでは、さっそく例題で解と係数の関係の使い方を確認していきましょう。

例題をみてみよう

解と係数の関係を使うとどういう問題が解けるのか、例題を通じて理解していきましょう。

例題

$x=\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$を解とする二次方程式を求めよう。

求める二次方程式の2つの解を$x=α, β$とすると、

$α+β=2$、$αβ=\frac{3}{4}$

解と係数の関係より、求める二次方程式は

$x^{2}-2x+\frac{3}{4}=0$

 

両辺に4をかけて、

$4x^{2}-8x+3=0$…(答)

練習問題を解いてみよう

例題で解と係数の関係の使い方を確認したので、次は自分で解いてみましょう。

問題

①$3x^{2}+4x+6=0$の2つの解をα, βとするとき、$α+β$、$αβ$の値を求めよう。

②$x=\frac{2}{3}, -\frac{5}{3}$を解とする二次方程式を求めよう。

解答

解と係数の関係より、
$α+β=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{3}$
$αβ=\frac{c}{a}=\frac{6}{3}=2$
$α+β=-\frac{4}{3}$、$αβ=2$…(答)

 

求める二次方程式の2つの解を$x=α, β$とすると、
$α+β=-1$、$αβ=-\frac{10}{9}$
解と係数の関係より、求める二次方程式は
$x^{2}+x-\frac{10}{9}=0$
両辺に9をかけて、
$9x^{2}+9x-10=0$…(答)

 

今回のまとめ

今回は、解と係数の関係について解説しました。

 

解と係数の関係は、とくに2つの解が分数のときに、二次方程式の問題を解くのをかんたんにしてくれます。

 

練習問題をたくさん解いて、解と係数の関係をうまく使えるようになりましょう。参考図書として「「なぜ? どうして?」をとことん考える高校数学 (BERET SCIENCE)」をあげておきます。よければ読んで下さい。

 

今回もおつかれさまでした。

 

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