図形を移動して中心が原点でない円の接線を求める【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【中心が原点でない円の接線】で

す。

 

円の接線の公式って、中心が原点じゃないと使えないの?
たなかくん
たなかくん

 

今回はこんな疑問にお答えします。

 

これまでに習った円の接線の公式は、円の中心が原点のときのものでした。しかし、円の中心は必ずしも原点とは限りません。

 

そこで、今回は、中心が原点でない円の接線を求める方法について解説します。見出しにあるとおり、「図形を移動する」というのが重要なポイントになります。

 

さぁ「図形を移動する」ことを頭において、さっそく始めていきましょう。

 

この記事を15分で読んでできること

・中心が原点でない円の接線の求め方がわかる

・自分で実際に中心が原点でない円の接線を求められる

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円の接線の公式を復習

 

中心が原点でない円の接線の求め方を確認する前に、まずは中心が原点の円の接線の公式を復習しましょう。

 

中心が原点の円の接線の公式

円$x^{2}+y^{2}=r^{2}$の点(x₁,y₁)における接線の公式は

$x₁x+y₁y=r^{2}$

覚えていたでしょうか?

 

それでは、中心が原点の円の接線の公式を再確認したところで、中心が原点の円の接線の求め方を解説していきます。

中心が原点でない円の接線の求め方を解説

 

はじめに「図形を移動する」ことがキーワードと述べたように、中心が原点でない円の場合は、中心が原点になるように移動させて考えます。

 

中心が(a,b)、半径がrである円の点(x₁,y₁)における接線を例に考えてみましょう。

 

まず、中心が原点になるようにこの円と接線を移動させます。

すると、中心が(0,0)、半径がrである円の点(x₁-a,y₁-b)における接線を考えればよいことになります。

 

先ほど確認した、中心が原点の円の接線の公式をつかうと、接線の方程式は、

$(x₁-a)x+(y₁-b)y=r^{2}$となります。

 

これはまだ答えではないので要注意です。

はじめに、中心が原点になるようにこの円と接線を移動させましたね。

 

x軸方向に-a、y軸方向に-bだけ平行移動したので、今度は逆にx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動して戻してあげましょう。

 

すると、接線の方程式は

$(x₁-a)(x-a)+(y₁-b)(y-b)=r^{2}$

となります。

 

円の接線の公式

中心が(a,b)、半径がrである円の点(x₁,y₁)における接線は

$(x₁-a)(x-a)+(y₁-b)(y-b)=r^{2}$

「図形を移動する」ことで、中心が原点に限らない円の接線の公式が求められましたね。

続いて、練習問題を解いてみましょう。

練習問題を解いてみよう

問題

①円$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$の点(5,7)における接線を求めよう。

 

②円$(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=13$の点(2,6)における接線を求めよう。

解答

①円$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25$の点(5,7)における接線を求めよう。

 

円の接線の公式より、

$(5-2)(x-2)+(7-3)(y-3)=25$

$(3x-6)+(4y-12)=25$

これを整理して、

$3x+4y=43$…(答)

 

②円$(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=13$の点(2,6)における接線を求めよう。

 

円の接線の公式より、

$(2+1)(x+1)+(6-4)(y-4)=13$

$(3x+3)+(2y-8)=13$

これを整理して、

$3x+2y=18$…(答)

 

今回のまとめ

 

今回は、「図形を移動する」ことで、中心が原点でない円の接線を求める方法について解説してきました。また、少しむずかしく見えますが、中心が原点でなくてもつかえる円の接線の公式をもとめることができました。

 

分からない問題が出たときに、分かる形に置き換えることは入試において重要になります。

今回、そのために「図形を移動」するという方法をとりました。

 

これからこのままでは解けないと思う問題が出たときには、自分が知っている公式をつかえる状況にできないかを考えてみましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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