円の接線の公式をわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【円の接線の公式】です。

 

円と直線が1点で交わるということは、その直線は接線だよな。円の接線の方程式はどうやったら求められるんだろう?
たなかくん
たなかくん

 

前回、円と直線の位置関係の求め方を解説しました。

今回は、円と直線が1点で交わるときに着目し、こんな疑問にお答えします。

 

実は、記事のタイトルのとおり、円の接線には公式があります。

単に公式を覚えるだけでなく、どうして円の接線の公式が成り立つのかを理解するところから始めましょう。

 

それでは、さっそく解説していきます。

 

この記事を15分で読んでできること

・円の接線の公式がわかる

・円の接線の公式がどうして成り立つのかがわかる

・自分で実際に円の接線の方程式を求めることができる

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円の接線の公式

 

いきなりですが、円:$x^{2}+y^{2}=r^{2}$の点A(p,q)における接線ℓは次の式で表すことができます。

 

接線の公式

$$px+qy=r^{2}$$

 

(接点のx座標) × x + (接点のy座標) × y =(半径の2乗) 

では、なぜこの式が成り立つのでしょうか。

一緒に考えていきましょう。

円の接線の公式の証明

さて、まずは図を見てみましょう。

 

直線ℓにはどのような特徴があるでしょうか?

当たり前と思うかもしれませんが、確認していきましょう。

 

まず、点(p, q)を通る直線ですね。

そして、接線ということから、直線ℓは直線OAと垂直であることがわかります

 

 

1点と直線の傾きがわかれば、直線の方程式を求めることができましたね。

 

1点の座標はわかっているので、傾きを求めていきましょう。

直線OAの傾きは、$\frac{q}{p}$です。

 

直行する2つの直線の傾きをm₁, m₂とすると、m₁m₂=-1が成り立ちます。

 

よって、直線ℓの傾きをmとすると、

$m\times \frac{q}{p}=-1$

 

整理すると、$m=-\frac{p}{q}$

 

これで1点と直線の傾きがわかりました。

直線ℓの方程式は$y-q=-\frac{p}{q}(x-p)$と表せます。

 

あとはこれを整理するだけです。

 

両辺にqをかけて、

$qy-q^{2}=-px+p^{2}$

 

移項すると、

$px+qy=p^{2}+q^{2}$…①

 

あれ、公式と違う…と思った人もいるかもしれません。

 

でも、安心してください。

点(p, q)のことを思い出してみましょう。

 

この点は円$x^{2}+y^{2}=r^{2}$にあります。

すなわち、$p^{2}+q^{2}=r^{2}$です。

 

これを①に代入すると、

$px+qy=r^{2}$と公式を導くことができました。

練習問題を解いてみよう

問題

 

①円:$x^{2}+y^{2}=13$の点(2,3)における接線の方程式を求めよう。

 

②円:$x^{2}+y^{2}=5$の点(-2,1)における接線の方程式を求めよう。

 

③円:$x^{2}+y^{2}=50$の点(7,1)における接線の方程式を求めよう。

解答

 

①円:$x^{2}+y^{2}=13$の点(2,3)における接線の方程式を求めよう。

 

接線の方程式の公式より、

$px+qy=r^{2}$にそれぞれの値を代入して、

$2x+3y=13$

 

②円:$x^{2}+y^{2}=5$の点(-2,1)における接線の方程式を求めよう。

 

接線の方程式の公式より、

$px+qy=r^{2}$にそれぞれの値を代入して、

$-2x+y=5$

 

③円:$x^{2}+y^{2}=50$の点(7,1)における接線の方程式を求めよう。

 

接線の方程式の公式より、

$px+qy=r^{2}$にそれぞれの値を代入して、

$7x+y=50$

今回のまとめ

 

今回は、円の接線の方程式について解説しました。

 

むずかしそうなイメージのある接線の方程式ですが、公式をつかえば一瞬で求めることができると知って拍子抜けした人も多いのではないでしょうか。

 

とはいえ、公式を忘れてしまったら大変です。

公式の証明もきちんと理解して、もし公式を忘れても解けるようにしておきましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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