点と直線の距離をわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。

 

今回のテーマは【点と直線の距離】です。

 

直線のどこから点までの距離をはかればいいの?
たなかくん
たなかくん
 

今回はこんな疑問にお答えします。

 

点と直線の距離は、座標平面上の図形問題を解くうえで、押さえておきたい重要なポイントです。

 

実は、点と直線の距離を求める公式があるのですが、なぜその公式が成り立つのかも勉強することで、公式をより覚えやすくなります。

 

また、もしも公式を忘れてしまっても、点と直線の距離を求められるように、公式が成り立つのはなぜかもあわせて覚えておきましょう。

 

ということで、今回は、点と直線の距離の求め方について解説していきます。

 

この記事を15分で読んでできること・点と直線の距離とは何かがわかる

・点と直線の距離の求め方がわかる

・自分で実際に点と直線の距離を求められる

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そもそも点と直線の距離とは?

 

そもそも点と直線の距離とは、直線のどこまでの距離なのでしょうか?

 

結論からいうと、点と直線の距離は「点から直線におろした垂線の足までの距離」のことを意味します。

 

 

すなわち、下の図で点Aと直線ℓの距離は、2点間AHの距離と言い換えることができます。

 

さて、求めるべきものが何か分かったところで、さっそく点と直線の距離の求め方を確認していきましょう。

点と直線の距離の求め方とは?

 

いきなりですが、点と直線の距離の公式を見てみましょう。

 

点と直線の距離の公式

点A(x₁,y₁)と直線ℓ: ax+by+c=0の距離dは

$$d=\frac{|ax₁+by₁+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

複雑な式で覚えるのが大変そうですね…。

なぜこの式が成り立つのか確認していきましょう。

 

a=0、b=0のときの証明はかんたんなので、ここではa≠0かつb≠0の場合を考えます。

 

 

図のように、直線ℓ上に点Aとx座標が同じ点Pとy座標が同じ点Qをおきます。

 

先に証明の指針を述べておくと、△AQPの面積を2通りの方法で求めて、それらで方程式をつくるというものです。

 

それでは、以下が証明です。

 

AP=p, AQ=qとおくと、三平方の定理より$PQ=\sqrt{p^{2}+q^{2}}$なので、

 

△AQPの面積は

$△AQP=\frac{1}{2}pq$, $△AQP=\frac{1}{2}d\sqrt{p^{2}+q^{2}}$

と表せます。

 

よって、$d=\frac{pq}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$となります。

 

ここで、点Pのy座標、点Qのx座標を求めておきます。

 

点Pのy座標は、

ax₁+by+c=0を整理して

$y=\frac{-ax₁-c}{b}$

 

点Qのx座標は、

ax+by₁+c=0を整理して

$x=\frac{-by₁-c}{a}$

 

よって、

$p=|y₁-(\frac{-ax₁-c}{b})|=\frac{1}{|b|}|ax₁+by₁+c|$

$q=|x₁-(\frac{-by₁-c}{a})|=\frac{1}{|a|}|ax₁+by₁+c|$

となります。

 

これを$d=\frac{pq}{\sqrt{p^{2}+q^{2}}}$に代入します。

そして、式を整理すると、

$$d=\frac{|ax₁+by₁+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

となります。

 

 

さて、次は実際に練習問題を解いてみましょう。

練習問題を解いてみよう

問題

①点(-1,4)と直線3x+4y+7=0の距離を求めよう。

 

解説

①点(-1,4)と直線3x+4y+7=0の距離を求めよう。

 

公式$d=\frac{|ax₁+by₁+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$に代入すると、

$d=\frac{|3\times (-1)+4\times 4+7|}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$

$=\frac{-3+16+7}{\sqrt{25}}=\frac{20}{5}$

 

$d=4$…(答)

今回のまとめ

 

今回は、点と直線の距離について解説しました。

 

公式をつかうと、点と直線の距離はかんたんに求めることができましたね。

さらに、公式は三角形の面積を2通りの方法で求め、それらを等号でつなぐことで求められると確認しました。

 

はじめにも述べたように、点と直線の距離は図形問題を解くときに重要になります。

練習問題をたくさん解いて、公式を定着させましょう。

 

今回もおつかれさまでした。

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