関数の極値についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【関数の極値】です。

極値ってなに?極限値とは違うの?
たなかくん
たなかくん


微分の基礎として習った「極限値」とこれから勉強する「極値」、たしかに似ていますね。

しかし、「極値」と「極限値」はまったく違うものを意味しています。

 

今回は、「極限値」ではなく、「極値」について勉強します。

いまの時点で「極値」とはなにかわからない人も安心してください。

 

極値とはなにか、そして極値の求め方について、丁寧に解説していくので、この記事を読み終えたときには、極値の問題が解けるようになっていますよ。

それでは、さっそく始めていきましょう。

 

この記事を15分で読んでできること・極値とは何かがわかる

・極値の求め方がわかる

・自分で実際に極値を求められる

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そもそも極値とは?

いきなりですが、極値についてのまとめを見てみましょう。

極値とは

関数$y=f(x)$において。

$x=a$の前後で$f(x)$の値が増加から減少となるとき、$f(x)$は$x=a$において極大になるという

そのとき、$y=f(x)$上の点を極大点といい、値$f(a)$を極大値という

$x=a$の前後で$f(x)$の値が減少から増加となるとき、$f(x)$は$x=a$において極小になるという

そのとき、$y=f(x)$上の点を極大点といい、値$f(a)$を極小値という

また、極大値・極小値をあわせて極値という

 

極値とはなにか、理解できましたか?

グラフで確認しておきましょう。

このグラフにおいては、点Aの前後で値が増加から減少に、点Bの前後で減少から増加になっていますね。

つまり、点Aで極大値をとり、点Bで極小値をとるといえます。

導関数の符号と関数の増減

実は、導関数の符号から、関数の増減を知ることができます。

なにか思い出した人もいるのではないでしょうか?

 

そうです、微分係数が接線の傾きでしたよね。

これでわかりましたか?

 

接線の傾きが正であれば、そのとき関数は増加しています。

つまり、導関数の符号と関数の増減について、次のようにまとめられます。

導関数の符号と関数の増減

関数$y=f(x)$の値の増減は次のようになる

$f'(x)>0$ならば、その区間で$y=f(x)$は増加する

$f'(x)<0$ならば、その区間で$y=f(x)$は減少する

高次の関数のグラフの概形を把握するときに、導関数の符号と関数の増減の関係を使うので、きちんと覚えておきましょう。

 

また、$f'(x)=0$のときに極値をとることも押さえておきましょう。

練習問題を解いてみよう

問題

$y=x^{3}+3x^{2}-9x$の極大値、極小値を求めましょう。

解答

$y=x^{3}+3x^{2}-9x$の極大値、極小値を求めましょう。

 

$y=f(x)$とすると

$f'(x)=3x^{2}+6x-9$

 

$f'(x)=0$のとき、$y=f(x)$は極値をとる

$f'(x)=3x^{2}+6x-9=0$

$x^{2}+2x-3=0$

$(x+3)(x-1)=0$

$x=-3, 1$

 

$f(-3)=(-3)^{3}+3\times (-3)^{2}-9\times (-3)$

$=-27+27+27=27$

 

$f(1)=1^{3}+3\times 1^{2}-9\times 1$

$=1+3-9=-5$

 

$f(-3)>f(1)$なので

$y=x^{3}+3x^{2}-9x$は$x=-3$のとき極大値27、$x=1$のとき極小値-5をとる…(答)

今回のまとめ

今回は、極値について勉強してきました。

 

どうして微分の単元なのに接線の方程式の求め方を勉強するの?と疑問に思っていた人は、今日ですっきりしたのではないでしょうか??

バラバラだった知識がつながると楽しくなってきますね。

 

微分の勉強も残すところあと少しです。

今回もおつかれさまでした。

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他のレベルについては、こちらの記事をご覧ください。

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