導関数についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【導関数】です。

たなかくん
たなかくん
微分を学ぶうえで導関数が欠かせないって本当?

はい、本当です。

微分=導関数を求めることなので、今回勉強する導関数がこの単元の中心といっても過言ではありません。

 

導関数は「平均変化率」「極限値」が前提知識として必要になり、むずかしく感じてしまうでしょうが、丁寧に解説していくので安心してください。

この記事を読み終えたときには、微分ができるようになるまであと1歩になっています。

 

今回もがんばっていきましょう。

 

この記事を15分で読んでできること・微分係数とは何かがわかる
・導関数とは何かがわかる
 

[ad]

[ad]

まずは微分係数について確認しましょう

さっそく導関数とは?という話をしたいところではありますが、まずはその前に微分係数について確認しておきましょう。

 

微分係数は次の式で表されます。

微分係数

関数$y=f(x)$の$x=a$における微分係数

$$f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

 

これが何を表しているかわかりますか?

 

まず、$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$に着目しましょう。

これは、xの値がaからa+hまで変化するときの関数$y=f(x)$の平均変化率ですね。

 

h→0は、hが0まで限りなく近づくという意味なので、$f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$は、「hを限りなく0に近づけたときに、xの値がaからa+hまで変化するときの関数$y=f(x)$の平均変化率が限りなく近づく値」ということができます。

 

長くてややこしいので具体例を見てみましょう。

例題

$f(x)=x^{2}$について。

$x=a$における微分係数を求めましょう。

求める微分係数は、

$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\frac{2ah+h^{2}}{h}$

$=\lim_{h\to 0}(2a+h)$

 

hが0に限りなく近づくとき、2a+hは限りなく2aに近づくので、

$\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$であり、

$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=2a$とまとめることができます。

 

微分係数とは何か、理解できたでしょうか?

それでは、いよいよ導関数について解説します。

導関数とは?

導関数は次の式で表されます。

導関数

関数$y=f(x)$において、$f(x)$の導関数は

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

 

これを見て、「あれ、どこかで見たような…」となった人はさすがです。

$x=a$とすると、$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(x)}{h}$、すなわちx=aにおける微分関数となります。

 

また、導関数$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$において、hをxの増分といい、$\Delta x$と表します。

このとき、$f(x+h)-f(x)$をyの増分といい、$\Delta y$と表します。

 

すなわち、導関数は

$f'(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

と変形することもできます。

今回のまとめ

今回は、導関数について解説してきました。

 

「平均変化率」や「極限値」といった、微分の考え方にもそろそろ慣れてきたのではないでしょうか?

はじめに述べたように、微分とは導関数を求めることなので、導関数を理解しなくては微分をすることができません。

 

まだ不安が残る人は、こちらの記事も復習しておきましょう。

→微分の基礎「平均変化率」「極限値」についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】

 

今回もおつかれさまでした。

数ⅡB おすすめの問題集

基礎を固めた方におすすめしたのが、旺文社の『数学Ⅱ・B 標準問題精講』です。

数学Ⅱ・B 標準問題精講』には、大学入試レベルの問題が200問程度のっています。

これらすべてを解けるようになれば、ほとんどの問題に対応することができるでしょう。

解けない問題がなくなるまで、繰り返し練習するのにおすすめの一冊です。

 

他のレベルについては、こちらの記事をご覧ください。

レベル別!東大生が本気でおすすめする高校数学問題集・7選【インタビュー記事】
みなさん、こんにちは。今回は趣向を変えて、実際に東大生Y子さん(仮名)が高校時代に勉強するおすすめの参考書は何!?ということをテーマに記事を作成していただきました。 Y子さんいわく とのことでした。 とはいえ、本屋に行くと...

 

 

[ad]

[ad]

にほんブログ村 受験ブログへ
にほんブログ村

にほんブログ村 受験ブログ 大学受験(本人・親)へ
にほんブログ村

 

 

コメント

タイトルとURLをコピーしました