みなさん、こんにちは。数学ⅡBのコーナーです。今回のテーマは【導関数】です。
はい、本当です。
微分＝導関数を求めることなので、今回勉強する導関数がこの単元の中心といっても過言ではありません。
導関数は「平均変化率」「極限値」が前提知識として必要になり、むずかしく感じてしまうでしょうが、丁寧に解説していくので安心してください。
この記事を読み終えたときには、微分ができるようになるまであと1歩になっています。
今回もがんばっていきましょう。
・導関数とは何かがわかる
まずは微分係数について確認しましょう
さっそく導関数とは？という話をしたいところではありますが、まずはその前に微分係数について確認しておきましょう。
微分係数は次の式で表されます。
関数\(y=f(x)\)の\(x=a\)における微分係数
$$f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
これが何を表しているかわかりますか？
まず、$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$に着目しましょう。
これは、xの値がaからa+hまで変化するときの関数$y=f(x)$の平均変化率ですね。
h→0は、hが0まで限りなく近づくという意味なので、$f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$は、「hを限りなく０に近づけたときに、xの値がaからa+hまで変化するときの関数$y=f(x)$の平均変化率が限りなく近づく値」ということができます。
長くてややこしいので具体例を見てみましょう。
$f(x)=x^{2}$について。
$x=a$における微分係数を求めましょう。
求める微分係数は、
$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}$
$=\lim_{h\to 0}\frac{2ah+h^{2}}{h}$
$=\lim_{h\to 0}(2a+h)$
hが0に限りなく近づくとき、2a+hは限りなく2aに近づくので、
$\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$であり、
$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}=2a$とまとめることができます。
微分係数とは何か、理解できたでしょうか？
それでは、いよいよ導関数について解説します。
導関数とは？
導関数は次の式で表されます。
関数$y=f(x)$において、$f(x)$の導関数は
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
これを見て、「あれ、どこかで見たような…」となった人はさすがです。
$x=a$とすると、$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(x)}{h}$、すなわちx=aにおける微分関数となります。
また、導関数$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$において、hをxの増分といい、$\Delta x$と表します。
このとき、$f(x+h)-f(x)$をyの増分といい、$\Delta y$と表します。
すなわち、導関数は
$f'(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$
と変形することもできます。
今回のまとめ
今回は、導関数について解説してきました。
「平均変化率」や「極限値」といった、微分の考え方にもそろそろ慣れてきたのではないでしょうか？
はじめに述べたように、微分とは導関数を求めることなので、導関数を理解しなくては微分をすることができません。
まだ不安が残る人は、こちらの記事も復習しておきましょう。
→微分の基礎「平均変化率」「極限値」についてわかりやすく解説【受験に役立つ数学ⅡB】
今回もおつかれさまでした。
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