みなさん。こんにちは。
数学1Aの勉強で今回は【図形の性質】について、その中でも特に「チェバの定理」を詳しく解説していきます。
一筆書きで理解なんて聞いたことがあるかもしれませんね。
この分野はセンター試験で頻出、というわけではありませんが、2次試験ではよく出題されています。
チェバの定理は、それ単体で出題されることもあれば、正三角形や二等辺三角形の性質などと組み合わせた問題が出題されることもあり、覚えている人と覚えていない人で差がつきやすい分野と言えるでしょう。
名前は難しそうですが、複雑な式を覚える必要が全くないので、一度覚えてしまえば思い出すのはとても簡単です。
この記事では、チェバの定理とは何なのかを説明し、チェバの定理の証明をします。最後に、チェバの定理を使った演習問題を解いていきましょう。
また、メネラウスの定理については「メネラウスの定理とは？覚え方のコツを解説&問題演習つき」があるのでこちらもご参考ください。
「チェバの定理」とは？
まず、チェバの定理を文章で表すと以下のようなものになります。
△ABCの3頂点A、B、Cと三角形の辺上またはその延長上にない点Oとを結ぶ直線が、対辺BC、CA、ABまたはその延長と交わるとき、交点をそれぞれP、Q、Rとすると、
$$\frac{BP}{PC}⋅\frac{CQ}{QA}⋅\frac{AR}{RB} =1$$
大事なことは図を見て定理を理解することです。
図中①、②、・・・⑥はそれぞれの線分の長さを表しています。チェバの定理は図のように各線分の長さを決めたとき、その線分の長さの間に、
$$\frac{①BP}{②PC}⋅\frac{③CQ}{④QA}⋅\frac{⑤AR}{⑥RB} =1$$
の関係がありますよ、と言っているだけです。
チェバの定理の覚え方
チェバの定理の覚え方は簡単です。
下の図をご覧ください。
チェバの定理は各頂点と各分点 (辺の途中にある点)を、頂点→分点→頂点→・・・と進み、一周すれば、長さの関係式を穴埋めすることができます。
覚え方としては三角形をチェバの定理は、三角形の頂点から分点へ辺を順番になぞっていくイメージです。
ただし、注意として、頂点から分点を分子、分点から頂点を分母となるということです。
例えば、上図ならBPが分子、PCが分母となります。
それでは、チェバの定理の証明をみていきましょう。
チェバの定理の証明
△ABCの3頂点A、B、Cと三角形の辺上またはその延長上にない点Oとを結ぶ直線が、対辺BC、CA、ABまたはその延長と交わるとき、交点をそれぞれP、Q、Rとする。
また△AOCの面積を|AOC|と書くこととする。
△ACR：△BCR=△AOR：△BOR=AR：RBより
$$\frac{AR}{RB}=\frac{|AOC|}{|BOC|}$$
同様に、$$\frac{BP}{PC}=\frac{|AOB|}{|AOC|}$$
$$\frac{CQ}{QA}=\frac{|BOC|}{|AOB|}$$
3式を辺々かけ合わせれば、$$\frac{BP}{PC}⋅\frac{CQ}{QA}⋅\frac{AR}{RB}=\frac{|AOB|}{|AOC|}⋅\frac{|BOC|}{|AOB|}⋅\frac{|AOC|}{|BOC|}=1$$
となり、チェバの定理となります。
では、問題を解きながら、チェバの定理を実際にどのように使うのか、一緒に見ていきましょう。
問題を解いてみよう！
それでは、実際に問題を解いてみましょう。
例題1辺の長さが7の正三角形ABCがあり、正三角形ABCの内部に点Oがあるとする。直線AO、BO、COが対辺BC、CA、ABと交わる点をP、Q、RとするとAQ=6、AR=3であった。このとき線分BPの長さを求めよ。
このような図形の問題を解くとき、図を描くことは必須です。
長さの関係はある程度いい加減でも問題を解くうえでは問題ないので、パパッと描いてしまいましょう。
チェバの定理より、
AR/RB⋅BP/PC⋅CQ/QA=1
ゆえに 3/4⋅BP/PC⋅1/6=1
よって BP=8PC=8/9⋅BC=56/9解答を見る前に実際に自分で解いてみましょう。
AQ=6、QC=7-6=1、AR=3、RB=7-3=4AQ=6、QC=7-6=1、AR=3、RB=7-3=4
チェバの定理より、
$$\frac{AR}{RB}・\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}⋅ =1$$
ゆえに $$\frac{3}{4}⋅\frac{BP}{PC}⋅\frac{１}{６} =1$$
そして $$\frac{3}{4}⋅\frac{BP}{PC}⋅\frac{１}{６} =1$$
つまり、BP:PC=8（４✕６÷３):1
そして、BCはBP＋PCなので8＋１なので、BP:BC=8:9となります。
以上から$$BP=\frac{8}{9}⋅BC（BCは７という数字なので）=\frac{56}{9}$$となります。
今回のまとめ
・チェバの定理：三角形と1点の間に成り立つ定理
・「文章」としてではなく「図 (イメージ)」として覚えよう！
・覚え方のコツは「頂点→分点→頂点→・・・の順に一筆書きで一周り」
図形の問題はどうしても理解が難しいですが、問題を視覚的に捉えることができる数少ない分野です。
図を描いて、問題のイメージを掴むことがスタート地点だということを忘れず、他の受験生と差をつけていきましょう。
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[…] ちなみにチェバの定理について「チェバの定理とは？その覚え方と証明を解説（演習問題つき）」をご覧ください。 […]