みなさん、こんにちは。
今回は物体の落下運動の1つである自由落下について学んでいきましょう。
落下運動、というと難しく聞こえますが要はボールを投げたときにボールがどのような動きをするのかを考えていきます。
落下運動には自由落下、鉛直投げ下ろし、鉛直投げ上げの3つがあります。今回学ぶ自由落下は一番基本的なものです。
演習問題も用意したので理解して自分で自由落下の問題もしっかり解けるようにしていきましょう。
自由落下とは
自由落下とは、初速度0で落下する物体の運動のことです。
例えばビルの屋上からボールを静かに離すときのボールの運動も自由落下です。
このボールの運動を考えるときに知りたい情報は、落ちるまでの時間やボールの速度などがあげられますよね。物理では公式を用いてそれらの情報を求めることができます。
ここで1つ大切な注意点をあげます。
初速度0という条件は、問題文で物体を「静かに」落としたと表現されることを覚えておきましょう。つまり「静かに」と書いてあれば「音を立てないで」という意味ではなく、「初速度0」という条件を表しているので気をつけましょう。
自由落下の公式を解説
自由落下の公式として以下の3つをよく使います。
$ v = gt$
$y = \frac{1}{2} g t^2$
$v^2 = 2gy$
初速度0の自由落下以外の落下運動でも似たような公式がたくさん出てくるのですが、実は落下運動の公式は全て等加速度直線運動の3本の式から導出できます。よって等加速度直線運動の式から自由落下の式を導けるようにしておくことが大切です。それでは早速導いてみましょう。
まず等加速度直線運動の3本の式の復習です。
$a$を加速度、$v$を速度、$v_{0}$を初速度、$x$を変位、$t$を時間とすると
$v = v_{0} + at$
$x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^2$
$v^2 – v_{0} ^2 = 2ax$
この3つの式はしっかりを覚えておきましょう。
自由落下は初速度が0、加速度はgでありこれらを等加速度直線運動の式に代入すると
$v = gt$
$y = \frac{1}{2} g t^2$
$v^2 = 2gy$
となり自由落下の公式を導くことができました。
ただしxをyとしています。軸の名前はx軸でも（あるいはk軸などでも）なんでも問題ありません。しかし水平方向はx軸・鉛直方向はy軸と慣例的に決まっているので、以下でもこれに倣うこととします。
復習の際には等加速度直線運動の式を書き、そこから導く練習をしましょう。
自由落下に関する問題について
自由落下の問題
高さ30[$m$]の位置から質量5[$kg$]の小球を静かに落下させる。小球から手を離した時刻を0[$s$]、重力加速度を9.8[$m$/$s^2$]として以下の問に答えなさい。ただし空気抵抗は考えないものとする。解答に小数が出てきた場合は小数第二位で四捨五入して答えなさい。
(1)地面に衝突するまでに要する時間$t_{1} $ [$s$]を求めなさい。
以下より高さ15[$m$]の地点をA地点とする。
(2)落下し始めてからA地点に達するまでに要する時間$t_{2}$ [$s$]を求めなさい。
(3)A地点を通過してから地面に衝突するまでに要する時間$t_{3}$ [$s$]を求めなさい。
(4)A地点を通過したときの小球の速度$u$ [$m$/$s$]と地面に落下したときの小球の速度$v$ [$m$/$s$]をそれぞれ求めなさい。
解答及び解説
物理では物体が始めに動いていた方向を、軸の向きにとることが慣習となっています。今回の自由落下の問題では鉛直下向きをy軸にとりましょう。
また、設問中に小球の質量が記されていますがこれはひっかけです。本問を解くにあたって小球の質量は必要ないことに注意してください。
一度、自分で解いてから解答及び解説をみるようにしましょう。
(1)の解説
距離と時間の関係式$y = \frac{1}{2} g t^2$にそれぞれ数値を代入しましょう。
$y = 30$ [$m$]、$g = 9.8$ [$m$/$s^2$]、$t = t_{1}$ [$s$] なので、$t_{1}$について式を整理すると$t_{1} = \sqrt{2 \times 30 \times 9.8} =24.2$となります。
(2)の解説
A地点は$y = 15$ [$m$]と表すことができます。
(1)でも用いた距離と時間の関係の式に$y = 15$ [$m$]、$t = t_{2}$ [$s$]を代入して、$t_{2}$について式を整理すると$t_{2} = \sqrt{2 \times 9.8 \times 15} = 17.1$
(3)の解説
落下し始めてから地面に到達するまでに要する時間は$t_{1} = 24.2$ [$s$]で、A地点に到達するまでに要する時間は$t_{2} = 17.1$ [$s$]と求めました。
したがって、A地点を通過してから地面に衝突するまでに要する時間は$t_{3} = t_{2} – t_{1} = 7.1$ [$s$]
(4)の解説
速度と時間の関係式$v = gt$に、値をそれぞれ代入しましょう。
まずA地点を通過したときの速度から求めましょう。
$v = u$ [$m$/$s$]、$t = 17.1$ [$m$/$s^2$]なので、$u$について式を整理すると$u = 9.8 \times 17.1 = 167.6$ [$m$/$s$]
$v = v$ [$m$/$s$]、$t = 24.2$ [$s$]なので、$v$について式を整理すると$v = 9.8 \times 24.2 = 237.2$ [$m$/$s$]
自由落下を理解しよう
今回は以下のことを学びました。
- 自由落下とは初速度0で落下する物体の運動のこと
- 問題文中で「静かに落とす」と書かれたら初速度0で落とすということを表す
- 公式は等加速度直線運動の3本の式から導けるようにする
しっかりと復習をしましょう。
おすすめの物理の参考書として「大学入試 漆原晃の 物理基礎・物理[力学・熱力学編]が面白いほどわかる本」があります。こちらもよろしければ参考にしてみてください。
なお、物理の演習をしたいと考えている人は「《新入試対応》 大学入試 全レベル問題集 物理 1 基礎レベル 新装版 」を購入して問題演習にあたってください。簡単な内容なので初学者には取り組みやすい一冊となっています。
コメント