みなさん、こんにちは。数学ⅠAのコーナーです。今回のテーマは【三角形の面積比】です。
三角形の面積比と言われても、これまで習ってきた「比」と何が違うのかピンとこない人も多いでしょう。今回はこんな疑問にお答えします。
「習うより慣れよ」ということで、今回は練習問題がたくさんあります。問題を解くなかで、三角形の面積比の求め方をマスターしましょう。
・自分で実際に三角形の面積比を求められる
三角形の面積比とは？通常の比の計算とどう違うの？
これまで図形の問題でつかってきた比は、下の図のようなものです。
線分の比では、AC：CBというただ1つの比を求めればよかったのに対し、三角形の面積比は2つの比を扱います。
そのため、通常の比の計算より少しむずかしく感じるかもしれません。しかし、解き方をしっかりと押さえると、なんなく解くことができるので安心してください。
それではさっそく、三角形の面積比の求め方を解説していきます。
底辺の比と面積比
手始めに、高さが同じ三角形の面積比の求め方を考えましょう。
三角形の面積は「（底辺）×（高さ）×$\frac{1}{2}$」でしたね。
CからABにおろした垂線の足をHとすると、
△ADC=2×CH×$\frac{1}{2}$
△CDB=１×CH×$\frac{1}{2}$
よって、△ADC：△CDB=2×CH×$\frac{1}{2}$：１×CH×$\frac{1}{2}$=2：1
このように、高さが同じ三角形においては、底辺の比が面積比となります。
相似形の面積比の基本
次に、相似形の面積比について考えましょう。
相似形とは、拡大もしくは縮小すると合同になる図形のこと。相似比とは、相似である2つの図形の対応する辺の比でしたね。
上の図において、△ABCと△A’B’C’の相似比が1：2であるとしましょう。
このとき、△ABCと△A’B’C’の面積比はどうなるでしょうか。
先ほど確認したとおり、三角形の面積は「（底辺）×（高さ）×$\frac{1}{2}$」です。
底辺の比は、相似比なので、1：2。
高さの比も相似比と同様に1：2ですね。
どちらの三角形の面積も$\frac{1}{2}$をかけるので、△ABC：△A’B’C’=1×1：2×2=1＝4となります。
このように、相似形の面積比は、相似比の2乗となります。
三角形の面積比の練習問題
問題
それでは、実際に問題を解いていきましょう！
問題１
次の図のように、点Aから引いた線と辺BCの交点をDとする。
以下の条件が成り立つとき、（１）〜（３）について△ABDと△ADCの面積比を各々求めなさい。
（1）BD：DC=3：1の場合
（2）BD=4, DC=2の場合
（3）BC：DC=6：1の場合
（2）2：1 ※4：2としないように気を付けましょう。
（3）5：1 ※BC：DCであることに注意しましょう。
《問題1の解説》
△ABDと△ADCは高さが同じなので、底辺の比が面積比になります。
問題２
次の図のように、△ABCと△DEFは相似であるとする。
以下の条件が成り立つとき、△ABCと△DEFの面積比をそれぞれ求めなさい。
（1）相似比が2：3の場合
（2）AC=1, DF=$\sqrt{5}$の場合
（2）1：5
《問題2の解説》
相似形の面積比は、相似比の2乗になります。
問題３［発展問題］
下の図において、AD=3、DB=2、AE=1、EC=3とする。このとき、△ABCと△ADEの面積比を求めなさい。
《問題3の解説》
練習問題を解く前に、高さが同じ三角形においては、底辺の比が面積比となることを確認しました。このことを生かして、問題３を解いていきましょう。
まず、△ADEと高さが同じ三角形を探します。
補助線を1本引くと、△ABEが見つかります。（△ADCでも構いません。）
△ADE：△ABE=AD：AB=3：5
△ADEと△ABEの面積比がわかったので、あとは△ABEと△ABCの面積比が明らかになれば、△ADEと△ABCの面積比を求めることができます。
△ABE：△ABC=AE：AC=1：4
したがって、△ADE：△ABE：△ABC=3：5：20
（答）△ADE：△ABC=3：20
実は、1つの角が等しい三角形の面積比は、その角をはさむ2辺の積によって求められます。△ABC：△ADE=AB×AC：AD×AEと覚えておきましょう。
三角形の面積比のまとめ
ここまで、三角形の面積比について解説してきました。
練習問題を解いて、もう三角形の面積比は完ぺきという状態になったのではないでしょうか。まだ不安が残るという人は、引き続き練習問題に取り組んでいきましょう。
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