数学Aの「場合の数」で多くの人がつまずくのが「同じものを含む順列」です。公式は n!/p!q!… と覚えていても、「なぜ割るのか」が理解できていないと応用問題で対応できません。この記事では、公式が成り立つ理由から始めて、文字列・整数・最短経路など入試頻出のパターンを例題付きで体系的に解説します。
同じものを含む順列の公式
n個のものがあり、そのうちp個が互いに同じもの、q個が別の互いに同じもの、r個がさらに別の互いに同じもの、…であるとき、n個すべてを1列に並べる順列の総数は次の公式で求められます。
$$ rac{n!}{p! cdot q! cdot r! cdots}$$
たとえば a, a, a, b, b, c の6文字をすべて1列に並べる場合、a が3個、b が2個、c が1個なので、並べ方の総数は 6!/(3!×2!×1!) = 720/(6×2×1) = 60 通りです。
なぜ同じものの個数の階乗で割るのか
公式の「理由」を理解することが応用への第一歩です。a, a, b の3文字を例に考えましょう。もし2つの a をそれぞれ a₁、a₂ と区別して異なるものとして並べると、3! = 6 通りの並べ方があります（a₁a₂b、a₁ba₂、a₂a₁b、a₂ba₁、ba₁a₂、ba₂a₁）。しかし実際には a₁ と a₂ は同じ文字なので、この6通りは実質 3 通り（aab、aba、baa）しかありません。
なぜ6通りが3通りになるかというと、2つの a を入れ替えた場合（a₁a₂ と a₂a₁ のような組合せ）が「同じ文字列」として重複してカウントされているためです。2個の同じ文字の入れ替えは 2! = 2 通りあるので、6÷2! = 3 が正しい答えになります。同じ文字が p 個あれば p! 通りの入れ替えが生じるので、p! で割る必要があります。これが公式の理由です。
C（組み合わせ）を使った別解
同じものを含む順列は、組み合わせ C を使って考えることもできます。a, a, a, b, b, c の6文字を並べる6つの「枠」を用意して、「a を入れる枠をどの3つにするか → ₆C₃ 通り」「残った3枠のうち b を入れる枠をどの2つにするか → ₃C₂ 通り」「残り1枠に c → ₁C₁ 通り」と考えると、₆C₃ × ₃C₂ × ₁C₁ = 20 × 3 × 1 = 60 通りと求められます。これは 6!/(3!×2!×1!) と等しくなります。どちらの考え方も理解しておくと、問題の形式に応じて柔軟に対応できます。
例題1：文字の並べ替え
【問題】SUCCESS の7文字をすべて1列に並べるとき、異なる並べ方は何通りあるか。
まず各文字の個数を確認します。S が3個、C が2個、U が1個、E が1個です。公式に当てはめると、7!/(3!×2!×1!×1!) = 5040/(6×2×1×1) = 420 通りです。
例題2：数字を並べてできる整数
【問題】0, 1, 1, 2 の4個の数字をすべて使って4桁の整数をつくるとき、何個できるか。
まず全部の並べ方を求めると 4!/(2!) = 12 通りです。しかし、先頭（千の位）が 0 になる場合は4桁の整数にならないので除きます。先頭が 0 の場合は残り3文字（1, 1, 2）の並べ方で 3!/2! = 3 通りです。よって 12 − 3 = 9 個です。
整数の問題で注意すべきポイントは「最高位が 0 にならないこと」です。先頭が 0 になる場合を全体から引く手法が定番です。偶数の個数を求める問題では「一の位が偶数（0, 2, …）の場合を場合分けして数える」というアプローチが有効です。
例題3：最短経路問題
【問題】縦3本・横4本の道路が格子状に交差している。左下の角 A から右上の角 B へ最短で進む道順は何通りか。
最短経路問題の考え方は、移動方向を文字として並べ替える発想です。A から B へ最短で進むには、右（→）に3回、上（↑）に2回進む必要があります。つまり「→, →, →, ↑, ↑」の5文字を並べる順列に帰着します。公式より 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10 通りです。
一般に「右に m マス、上に n マス」の最短経路の総数は (m+n)!/(m!×n!) 通りです。途中の経由地を通る場合は「A→経由地」と「経由地→B」を別々に計算して掛け算します。
例題4：順序が指定された順列
【問題】A, B, C, D, E の5文字を1列に並べるとき、A が B より左になる並べ方は何通りか。
A と B を区別せず同じ文字 X に置き換えて考えます。X, X, C, D, E の5文字の並べ方は 5!/2! = 60 通りです。60 通り中 A が B より左になるものは対称性より半分の 30 通りです。
「3文字 A, B, C がこの順（A→B→C の順）になる」という条件なら、3つを同じ文字 X に置き換えて X, X, X, D, E の順列 5!/3! = 20 通りを求めます。
よくある間違いと注意点
同じものを含む順列で多い誤りは、「n! を計算してから割ることを忘れる」か「割る数を間違える」かのどちらかです。公式を使う前に必ず各文字（記号）の個数を書き出す習慣をつけましょう。また、整数の問題では最高位が 0 になる場合を除く処理を忘れやすいので注意が必要です。
最短経路問題では「格子の縦横の本数」と「マス数」を混同しないよう気をつけましょう。縦に m 本の道路と横に n 本の道路があるとき、移動距離はそれぞれ m−1 マス、n−1 マスになります。
まとめ表
| 問題のパターン | 考え方 | 公式・手順 |
|---|---|---|
| 文字の並べ替え | 各文字の個数を確認して公式を適用 | n!/(p!q!r!…) |
| 整数の個数（0を含む） | 全体 − 最高位が0になる場合 | 全体の順列 − 先頭0固定の順列 |
| 偶数の個数 | 一の位の数で場合分け | 一の位が各偶数の場合を個別に計算して合計 |
| 最短経路 | 右と上の移動を文字として並べ替え | (m+n)!/(m!n!)、経由点があれば区間ごとに掛け算 |
| 順序指定（AがBより左など） | 指定された文字を同一文字に置き換えて順列を計算 | 全体 / (指定文字の個数)! |
まとめ
同じものを含む順列の本質は「全体の並べ方から、同じ文字の入れ替えによる重複を除く」という操作です。公式 n!/p!q!… を丸暗記するだけでなく、「なぜ割るのか」を理解しておくと、文字列・整数・最短経路・順序指定など応用パターンにも対応できます。各問題で最初に「何が何個あるか」を確認する習慣を身につけることが、計算ミスを防ぐ最大のポイントです。
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