みなさんこんにちは。今回は数学１Aの【場合の数】を解説したいと思います。
場合の数とは簡単に言えば、ある条件下で求めたい事柄が何パターンあるか、ということです。つまり、１つずつ数えていけば答えにたどり着くことができるということです。
場合の数の問題を解く際に重要な公式は２つだけですが、しっかりとマスターしなければミスをしやすい箇所でもあります。中学でも「組み合わせ」というかたちで簡単な問題を解いたと思いますが、高校に入ればかなり難しくなってきます。
逆にここさえ突破すれば確率の分野も解きやすくなります。
入試でもかなり頻出の範囲ですので受験を標準にしっかりと問題を解けるようこの記事を読み込んでください。この記事では、樹形図、順列、PやCについての公式を解説して問題を解けることを目的としています。
この記事を読めばできること・場合の数を樹形図による解き方を理解する
・順列問題を解くためにPとCの公式を利用する
・実際の場合の数の入試問題を解いてみる
場合の数の覚えるべき解法
場合の数の解き方として、公式を覚えるのが一番早いのですが全てのパターンを数えてしまうという超力技によってでもできなくはないです。
まずは、スマートではない樹形図を使った解法について少し見ていきましょう。
樹形図を使った解法
初めに書いたように、場合の数とはある条件下で求めたい事柄が何パターンあるか、ということです。
場合の数の問題には以下のようなものがあります。
例題 １4個の数字1，2，3，4から３個の数字を取り出してできる３桁の整数は何通りあるか。
このような問題があったとき、まず考えたいのは上述のようにすべてのパターンを数えあげてしまうことです。
数える方法としては樹形図があります。
まず、１が100の位にあるとき、そのあとに10の位のパターンの数だけ枝分かれさせていきます。その次も同じように考えるのですが、１の位は100の位、10の位で使った数字は使えません。
100の位に1、10の位に2のときは1の位は３か４になる、ということですね。100の位が１のときの樹形図は以下のようになります。
これで100の位が1のときは「123」,「124」,「123」,「134」,「142」,「143」の6通りだとわかりました。100の位は1，2，3，4の4通りあるのでこの問題の答えは6×４＝24（通り）とわかります。
例題 ２１～９までの数字の中から8個の数字を取り出してできる8桁の数字は何通りあるでしょうか?
答えは362880通りなのですが、当然書ききることは不可能ですよね。
そこで役に立つのが場合の数の公式です。
場合の数の問題を解くための公式
上の問題のようにｎ個ある中からｒ個取り出して（n,rは自然数）それを並べる並べ方は何通りあるかという問題のことを順列問題と言います。順列問題の公式は以下のようになります。
ｎ個の中からr個を取り出して並べる順列の総数は
nPr=ｎ×(n-1）×(n-2)×・・・×(n-p+2)×(n-p+1)
＼ r(個） ／
求めたい順列の総数はnとｎから１ずつ引いていった数が合計r個になるようにした後、そのすべての数字の積を取れば良いということです。
例１の問題は₄P₃=4×(4-1)×(4-2)＝4×3×２＝24（通り）となって一致しますね。
Pを使った順列の総数の求め方は分かったでしょうか？Pを使った順列で、とくにn個すべての並べ方を考えるときはn!と書いて、ｒの階乗（かいじょう）と読みます。ｎ！を求める式は
n!＝nPn＝ｎ×(n-1)×(n-2)×・・・×2×1
となります。つまり、自然数nから１づつ引いた数を最後が1になるまでかけていくという形ですね。
次に、組み合わせを求める公式を紹介します。ｎ個の中からｒ個を取り出す組み合わせを求める公式は
$$nCr=\frac{nPr}{r!}$$
つまり、ｎ個の中からr個を取り出して並べる順列をｒの階乗で割るだけです。
例題 ３4個の数字1，2，3，4から３個の数字を取り出す組み合わせは何通りか。
例１とよく似ていますが₄P₃では求められません。ここで注意したいのは例３では「組み合わせ」を求めたいということです。
例１では、「123」と「132」と「213」と「231」と「312」と「321」を区別していましたよね。しかし、組み合わせで考えると全て１と２と３の組み合わせ、つまり1組として数えられます。
１と２と３の３つの数字の並べ方は上の３!（通り）で１と２と３の組み合わせは1（通り）なので、求めたい組み合わせは例１の順列を３!で割れば良いということです。
₄P₃＝４×３×２＝24
３!=3×2×1=6なので
$$₄C₃=\frac{４×３×２}{3×2×1}=\frac{24}{6}=4$$
となります。
逆に、例１の問題を、①4個の数字から3個取り出す②3個の数字を並べる
と考えると₄C₃×3!＝4×6=24=₄P₃と考えることもできます。
組み合わせと順列の違いは取り出したものを区別する必要があるかにあります。ある程度理解できたと思ったら、実際に問題を解きながら慣れていくのが一番です。
nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+2)×(n-r+1)
とくに nPn=n!
・n個の中からｒ個を取り出す組み合わせ
$$nCr＝\frac{nPr}{r!}$$
公式を使って場合の数の問題を解いてみよう
＜問題＞
（１）6人の生徒A,B,C,D,E,Fから4人を選ぶ選び方は何通りあるか。
（２）6人の生徒A,B,C,D,E,Fから、議長、副議長、書記を1人ずつ選ぶ選び方は何通りあるか。（1人が２つ以上の役職にはなれない）
＜解答＞
この問題は6人の中から4人を選ぶ組み合わせの問題です。組み合わせの問題のときはＣを使うので、（１）の答えは
（２）問題は、3人を取り出したあと、議長と副議長と書記に区別します。3人を議長と副議長と書記に分ける組み合わせは3人の並べ替えと同じなので、これは順列問題と考えられますね。順列の問題のときはＰを使うので
まとめ
もう一度内容を確認しておくと、場合の数は、求めたい事柄が何パターンあるかということでした。
そして、場合の数で用いる公式は
nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・×(n-r+2)×(n-r+1)
・n個の中からｒ個を取り出す組み合わせ
nCr＝nPr/r!
でした。場合の数は何度も問題にチャレンジすることが必要です。ＰとＣの使い分けをマスターすると確率の分野でも役に立つので頑張りましょう！
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