チェバの定理とメラネウスの定理を理解し問題を解ける

平面図形

みなさん。こんにちは。数学1Aの勉強で今回は【図形の性質】について、その中でも特に「チェバの定理」と「メネラウスの定理」を詳しく解説していきます。一筆書きで理解なんて聞いたことがあるかもしれませんね。

 

この分野はセンター試験で頻出、というわけではありませんが、2次試験ではよく出題されています。

 

チェバの定理、メネラウスの定理は、それ単体で出題されることもあれば、正三角形や二等辺三角形の性質などと組み合わせた問題が出題されることもあり、覚えている人と覚えていない人で差がつきやすい分野と言えるでしょう。

 

名前は難しそうですが、複雑な式を覚える必要が全くないので、一度覚えてしまえば思い出すのはとても簡単です。

 

まずは、チェバの定理、メネラウスの定理とは何なのかを説明し、実際にどのように使うのかを解説します。次に、応用編として三角形の面積比の性質と組み合わせた問題を解いていきましょう。

 

最後に、おまけとしてチェバの定理、メネラウスの定理の証明を載せています。この証明がテストに出ることは滅多にありませんが、図形の面白さが詰まった証明であり、この分野の理解がグッと深まることは間違いありません。興味のある方は是非ご覧ください。

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「チェバの定理」とは?「メネラウスの定理」とは?

まず、チェバの定理、メネラウスの定理を文章で表すと以下のようなものになります。

チェバの定理

△ABCの3頂点A、B、Cと三角形の辺上またはその延長上にない点Oとを結ぶ直線が、対辺BC、CA、ABまたはその延長と交わるとき、交点をそれぞれP、Q、Rとすると、

$$\frac{BP}{PC}⋅\frac{CQ}{QA}⋅\frac{AR}{RB} =1$$

たかし君
たかし君

意味がわかりません。

大事なことは図を見て定理を理解することです。

 

図中①、②、・・・⑥はそれぞれの線分の長さを表しています。チェバの定理は図のように各線分の長さを決めたとき、その線分の長さの間に、

 

$$\frac{①BP}{②PC}⋅\frac{③CQ}{④QA}⋅\frac{⑤AR}{⑥RB} =1$$

 

の関係がありますよ、と言っているだけです。

メネラウスの定理

△ABCの辺BC、CA、ABまたはその延長が、三角形の頂点を通らない1直線とそれぞれ点P、Q、Rで交わるとき、

$$\frac{BP}{PC}⋅\frac{CQ}{QA}⋅\frac{AR}{RB} =1$$

 

同様にメネラウスの定理も図を見ながら理解していきましょう。下の図をご覧ください。

図中①’、②’、・・・⑥’はそれぞれの線分の長さです。チェバの定理のときと少々線分の決め方が異なっていることにご注意ください。メネラウスの定理はこのように各線分の長さを決めたとき、その線分の長さの間に、

 

$$\frac{①’}{②’}⋅\frac{③’}{④’}⋅\frac{⑤’}{⑥’} =1$$

の関係があることを示します。

 

チェバの定理とメネラウスの定理は式の形自体は全く同じです。なのでこの際、2つの定理をセットで覚えてしまうことをオススメします。

 

2つの定理の違いは、チェバの定理が三角形と1点の関係を表した定理であり、メネラウスの定理が三角形と直線の関係を表した定理であるということです。この違いから線分の長さの決め方に違いが生じます。

 

繰り返しになりますが大事なことは2つの定理を「文章で覚える」のではなく、「図 (イメージ)として覚える」ことです。高校生の皆さんはテストで使えるよう、何度も上の図を見ながら、これらの定理を定着させてください。

 

さて、いざ2つの定理を覚えるとなると、チェバの定理に比べ、メネラウスの定理は覚えづらい形をしています。チェバの定理の覚え方は簡単です。下の図をご覧ください。

 

チェバの定理は各頂点と各分点 (辺の途中にある点)を、頂点→分点→頂点→・・・と進み、一周すれば、長さの関係式を穴埋めすることができます。

 

一方で、メネラウスの定理は、線分を決めるとき、頂点を飛び越したり、戻ったりして覚えづらいです。しかしご安心ください。実はメネラウスの定理もチェバの定理と全く同じ覚え方ができるのです。以下でメネラウスの定理の覚え方をご説明いたします。下の図をご覧ください。

ポイントは「分点」のとらえ方です。チェバの定理では各辺の途中にある点を分点とみなしましたが、辺の延長線上で直線と交わる点も分点であると考えれば、チェバの定理と同様に、頂点→分点→頂点→・・・と交互に進み、一筆書きで一周すれば、長さの関係式の穴埋めが可能です。

 

チェバの定理もメネラウスの定理も覚え方は全く同じだということを覚えておきましょう。

 

チェバ・メネラウスの定理の覚え方頂点→分点→頂点→・・・の順に一筆書きで一周り

 

では、例題を解きながら、この2つの定理を実際にどのように使うのか、一緒に見ていきましょう。

問題を解いてみよう!

それでは、実際に問題を解いてみましょう。

例題11辺の長さが7の正三角形ABCがあり、正三角形ABCの内部に点Oがあるとする。直線AO、BO、COが対辺BC、CA、ABと交わる点をP、Q、RとするとAQ=6、AR=3であった。このとき線分BPの長さを求めよ。

このような図形の問題を解くとき、図を描くことは必須です。長さの関係はある程度いい加減でも問題を解くうえでは問題ないので、パパッと描いてしまいましょう。

AQ=6、QC=7-6=1、AR=3、RB=7-3=4
チェバの定理より、
AR/RB⋅BP/PC⋅CQ/QA=1
ゆえに 3/4⋅BP/PC⋅1/6=1
よって BP=8PC=8/9⋅BC=56/9
解答
AQ=6、QC=7-6=1、AR=3、RB=7-3=4

チェバの定理より、
$$\frac{AR}{RB}・\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}⋅ =1$$

ゆえに $$\frac{3}{4}⋅\frac{BP}{PC}⋅\frac{1}{6} =1$$

そして $$\frac{3}{4}⋅\frac{BP}{PC}⋅\frac{1}{6} =1$$

つまり、BP:PC=8(4✕6÷3):1

そして、BCはBP+PCなので8+1なので、BP:BC=8:9となります。

以上から$$BP=\frac{8}{9}⋅BC(BCは7という数字なので)=\frac{56}{9}$$となります。

 

答え:$$BP=\frac{56}{9}$$

 

例題2△ABCにおいて、辺AB上と辺AC上の延長上にそれぞれ点E、Fをとり、AE:EB=1:2、AF:FC=3:1とする。直線EFと直線BCの交点をDとするとき、BD:DC、ED:DFをそれぞれ求めよ

こちらも図を描いて考えます。今回はメネラウスの定理を使いますが、どの三角形と直線に対してメネラウスの定理を使うかがポイントとなります。

解答
△ABCと直線EFについて、メネラウスの定理より$$\frac{BD}{DC}⋅\frac{CF}{FA}⋅\frac{AE}{EB} =1$$ゆえに$$\frac{BD}{DC}⋅\frac{1}{3}⋅\frac{1}{2} =1$$
よって BD:DC=6:1

△AEFと直線BCについて、メネラウスの定理より$$\frac{ED}{DF}⋅\frac{FC}{CA}⋅\frac{AB}{AE} =1$$ ゆえに $$\frac{ED}{DF}⋅\frac{1}{2}⋅\frac{3}{2} =1$$
よって ED:DF=4:3

応用問題!

では、次に応用問題です。

問題面積が1の△ABCにおいて、辺BC、CA、ABを3:1に内分する点をそれぞれL、M、Nとし、線分ALとBM、BMとCN、CNとALの交点をそれぞれP、Q、Rとするとき、△PQRの面積を求めよ。

メネラウスの定理を使う有名な問題で、ポイントは AP:PR:RLを求めることです。メネラウスの定理をどのように用いればAP:PR:RLを求められるのか、求めたAP:PR:RLをどのように使うのか、考えながら問題を解いてみましょう。

解答
△ABLと直線CNについて、メネラウスの定理より
AN/NB⋅BC/CL⋅LR/RA=1
ゆえに 3/1⋅4/1⋅LR/RA=1
よって LR:RA=1:12 ・・・①
また△ACLと直線BMについて、メネラウスの定理より
AM/MC⋅CB/BL⋅LP/PA=1
ゆえに 1/3⋅4/3⋅LP/PA=1
よって LP:PA=9:4 ・・・②
①、②から RL=1/13⋅AL、AP=4/13⋅AL
よって PR=8/13⋅ALであり、
AP:PR:RL=4:8:1
同様に BQ:QP:PM=4:8:1
よって △ABL=3/4⋅△ABC=3/4
△PBR=8/13⋅△ABL=8/13⋅3/4=6/13
△PQR=2/3⋅△PBR=2/3⋅6/13=4/13

 

チェバの定理とメネラウスの定理の応用問題は円に内接、外接する三角形の性質や、三角形の面積比、正弦定理や余弦定理、その他様々な図形の性質と組み合わせて出題されます。

 

それらの問題を解くのはとても難しいですが、そうした問題も分解してみれば、これまで習ったことを組み合わせただけで、全く習っていないことが突然出題されることはありません。つまり、基礎を一つ一つ積み上げていくことが、これら応用問題を解くための一番の近道となります。演習問題を解くことと並行して、これまで習った図形の性質を一度見直してみることも大切です。

「チェバの定理」と「メネラウスの定理」の証明

最後に、チェバの定理とメネラウスの定理の証明を解説します。2次方程式の解の公式や、三平方の定理、球の体積の公式など、数学には様々な定理や公式がありますが、それらすべてに証明の方法があります。

 

証明を知らなくても公式や定理は使えますが、証明を知っていることでその分野の理解はグッと深まります。証明を覚える必要はありませんので、「証明ができるということ」と「おおよその証明の道筋」だけ、頭の片隅に置いておきましょう。

 

まずはチェバの定理を、その次にメネラウスの定理の証明を見ていきましょう。

 

証明:チェバの定理

△ABCの3頂点A、B、Cと三角形の辺上またはその延長上にない点Oとを結ぶ直線が、対辺BC、CA、ABまたはその延長と交わるとき、交点をそれぞれP、Q、Rとする。また△AOCの面積を|AOC|と書くこととする。

△ACR:△BCR=△AOR:△BOR=AR:RBより

$$\frac{AR}{RB}=\frac{|AOC|}{|BOC|}$$

同様に、$$\frac{BP}{PC}=\frac{|AOB|}{|AOC|}$$

$$\frac{CQ}{QA}=\frac{|BOC|}{|AOB|}$$

3式を辺々かけ合わせれば、$$\frac{BP}{PC}⋅\frac{CQ}{QA}⋅\frac{AR}{RB}=\frac{|AOB|}{|AOC|}⋅\frac{|BOC|}{|AOB|}⋅\frac{|AOC|}{|BOC|}=1$$

となり、チェバの定理となります。

次にメネラウスの定理の証明をします。

証明:メネラウスの定理


下図のように、△ABCと直線XYが△ABCの辺BC、CA、ABまたはその延長と点P、Q、Rで交わるとする。頂点A、B、Cから直線XYに垂線AL、BM、CNを引くと、これら3つの垂線は互いに平行であるから、
$$\frac{BP}{PC}=\frac{BM}{CN}$$

$$\frac{CQ}{QA}=\frac{CN}{AL}$$

$$\frac{AR}{RB}=\frac{AL}{BM}$$

辺々かけると

$$\frac{BP}{PC}・\frac{CQ}{QA}・\frac{AR}{RB}=\frac{BM}{CN}・\frac{CN}{AL}・\frac{AL}{BM}=1$$

となり、メネラウスの定理となる。どちらの定理の証明も計算を進めていくと、右辺がすべて打ち消しあって1になります。

 

不思議ですよね。今回は触れていませんが、チェバ・メネラウスの定理の証明はこの他にもたくさんあり、それぞれ違って面白いです。興味が湧いた人は調べてみてください。

今回のまとめ

・チェバの定理:三角形と1点の間に成り立つ定理
・メネラウスの定理:三角形と1直線の間に成り立つ定理
・「文章」としてではなく「図 (イメージ)」として覚えよう!
・覚え方のコツは「頂点→分点→頂点→・・・の順に一筆書きで一周り」

図形の問題はどうしても理解が難しいですが、問題を視覚的に捉えることができる数少ない分野です。図を描いて、問題のイメージを掴むことがスタート地点だということを忘れず、他の受験生と差をつけていきましょう。

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